Exercício 4. O produto de uma matriz de ordem por um vetor pode ser motivado pela representação matricial de um sistema linear de equações. Mais precisamente, definimos
justamente porque, desta forma, é possível representar o sistema linear com m equações e n variáveis independentes
a11 x1+a12 x2+cdots+a1 n xn & =b1 a21 x1+a22 x2+cdots+a2 n xn & =b2 & vdots am 1 x1+am 2 x2+cdots+am n xn & =bm
pela equação A x=b in R^m. O uso de tabelas (matrizes) faz com que as operações com as linhas seja mais fácil e sistemático. Verifique que são equivalentes:
(i) O sistema linear (2).
(ii) A identidade vetorial ^1, onde o vetor R^n é definido como em (1).
(iii) O vetor R^m pode ser escrito como combinação linear das colunas da matriz A x=b : A x in R^m
Observe que os coeficientes da combinação linear são os coeficientes do vetor b.
(iv) A pertence à imagem da transformação linear b=x1 c1+x2 c2+cdots+xn cn definida por x in R^n.
b in R^m Neste exercício, embora não seja absolutamente relevante, nós estamos representando os vetores de T: R^n R^m e de T(x)=A x nas bases canônicas dos respectivos espaços.
Passo 1
O enunciado trata do produto de uma matriz AinR^mtimes n por um vetor xinR^n e mostra que isso é equivalente a quatro formas de ver o mesmo problema: 1. O sistema linear 2. A equação vetorial A x = b 3. Escrever b como combinação linear das colunas de A 4. Dizer que b pertence à imagem da transformação linear T(x)=A x
Nosso objetivo é mostrar que todas essas descrições são, de fato, equivalentes.
Passo 2
Para ver que (i)
é exatamente descrever cada componente da equação vetorial
Logo, o sistema de equações é verdadeiro se, e somente se, (A x = b].
Passo 3
Para ver que (ii) (iii), lembre que as colunas de são
Pela definição de produto linha– coluna, temos
Portanto
o que mostra a equivalência de (ii) e (iii).
Passo 4
Para ver que (iii) Long<=ftrightarrow (iv), basta usar a definição de imagem de T. Im(T) é o conjunto
,T(x) : xinR^n = ,A x : xinR^n
Dizer que binIm(T) significa exatamente que existe um x tal que A x = b, isto é, que b é combinação linear das colunas de A. Assim (iii) e (iv) são equivalentes.
Passo 5
Como mostramos (i)Long<=ftrightarrow(ii), (ii)Long<=ftrightarrow(iii) e (iii)Long<=ftrightarrow(iv), decorre que todos os quatro enunciados são equivalentes entre si.
Resposta
(i) Long<=ftrightarrow (ii) Long<=ftrightarrow (iii) Long<=ftrightarrow (iv)