Exercício 4. O produto de uma matriz A de ordem m times n por um vetor x in R^n pode ser motivado pela representação matricial de um sistema linear de equações. Mais precisamente, definimos ^1
[cccc a11 & a12 & cdots & a1 n a21 & a22 & cdots & a2 n vdots & vdots & ddots & vdots am 1 & am 2 & cdots & am n ][c x1 x2 vdots xn ]:=[c a11 x1+a12 x2+cdots+a1 n xn a21 x1+a22 x2+cdots+a2 n xn vdots am 1 x1+am 2 x2+cdots+am n xn ]
justamente porque, desta forma, é possível representar o sistema linear com m equações e n variáveis independentes
a11 x1+a12 x2+cdots+a1 n xn & =b1 a21 x1+a22 x2+cdots+a2 n xn & =b2 & vdots am 1 x1+am 2 x2+cdots+am n xn & =bm
pela equação A x=b in R^m. O uso de tabelas (matrizes) faz com que as operações com as linhas seja mais fácil e sistemático. Verifique que são equivalentes:
(i) O sistema linear (2).
(ii) A identidade vetorial ^1, onde o vetor R^n é definido como em (1).
(iii) O vetor R^m pode ser escrito como combinação linear das colunas da matriz A x=b :
A x in R^m
Observe que os coeficientes da combinação linear são os coeficientes do vetor b.
(iv) A pertence à imagem da transformação linear b=x1 c1+x2 c2+cdots+xn cn definida por x in R^n.

  1. b in R^m Neste exercício, embora não seja absolutamente relevante, nós estamos representando os vetores de T: R^n R^m e de T(x)=A x nas bases canônicas dos respectivos espaços.

Passo 1

O enunciado trata do produto de uma matriz AinR^mtimes n por um vetor xinR^n e mostra que isso é equivalente a quatro formas de ver o mesmo problema:
1. O sistema linear
2. A equação vetorial A x = b 3. Escrever b como combinação linear das colunas de A 4. Dizer que b pertence à imagem da transformação linear T(x)=A x
Nosso objetivo é mostrar que todas essas descrições são, de fato, equivalentes.

Passo 2

Para ver que (i)
é exatamente descrever cada componente da equação vetorial
Logo, o sistema de equações é verdadeiro se, e somente se, (A x = b].

Passo 3

Para ver que (ii) (iii), lembre que as colunas de são
Pela definição de produto linha– coluna, temos
Portanto
o que mostra a equivalência de (ii) e (iii).

Passo 4

Para ver que (iii) Long<=ftrightarrow (iv), basta usar a definição de imagem de T.
Im(T) é o conjunto
,T(x) : xinR^n = ,A x : xinR^n
Dizer que binIm(T) significa exatamente que existe um x tal que A x = b, isto é, que b é combinação linear das colunas de A. Assim (iii) e (iv) são equivalentes.

Passo 5

Como mostramos (i) Long<=ftrightarrow(ii), (ii) Long<=ftrightarrow(iii) e (iii) Long<=ftrightarrow(iv), decorre que todos os quatro enunciados são equivalentes entre si.

Resposta

(i) Long<=ftrightarrow (ii) Long<=ftrightarrow (iii) Long<=ftrightarrow (iv)

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