Suponha que A e B são matrizes m x n com a propriedade de que Ax=Bx para todo x in R^n. Mostre que:
(a) N(A-B)=R^n;
(b) A-B têm que ter posto nulo e, portanto, A=B.

Passo 1

O enunciado nos dá duas matrizes A e B de tamanho mtimes n tais que
Ax = Bx para todo xinR^n
O conteúdo envolvido é teoria de espaços vetoriais e transformações lineares: vamos usar a definição de núcleo (nullspace) e o Teorema do Núcleo e Imagem (rank–nullity).

Passo 2

Da condição Ax=Bx para todo x segue imediatamente que
(A - B)x = 0 para todo xinR^n
Isto significa que todo vetor xinR^n é enviado em zero pela transformação linear A-B. Por definição, o núcleo de A-B é
N(A-B)=,xinR^n : (A-B)x=0
Como vimos, todo x satisfaz (A-B)x=0, logo
N(A-B)=R^n

Passo 3

Pelo Teorema do Núcleo e Imagem (rank–nullity), para uma transformação linear de em vale
Como , tem-se . Substituindo:
Uma transformação com posto zero é a transformação nula, isto é, sua matriz é a matriz zero. Portanto , ou seja, .

Resposta

(a) .
(b) e, portanto, .

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