Suponha que A e B são matrizes
com a propriedade de que
para todo
. Mostre que:
(a)
;
(b)
têm que ter posto nulo e, portanto,
.
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado nos dá duas matrizes
e
de tamanho
tais que
O conteúdo envolvido é teoria de espaços vetoriais e transformações lineares: vamos usar a definição de núcleo (nullspace) e o Teorema do Núcleo e Imagem (rank–nullity).
Passo 2
Da condição
para todo
segue imediatamente que
Isto significa que todo vetor
é enviado em zero pela transformação linear
. Por definição, o núcleo de
é
Como vimos, todo
satisfaz
, logo
Passo 3
Pelo Teorema do Núcleo e Imagem (rank–nullity), para uma transformação linear de
em
vale
Como
, tem-se
. Substituindo:
Uma transformação com posto zero é a transformação nula, isto é, sua matriz é a matriz zero. Portanto
, ou seja,
.
Resposta
(a)
.
(b) e, portanto, .
(b) e, portanto,