Questão 5: (2.0 Pontos)
Calcule
\int \sqrt{4 x-x^{2}} d x

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado: a integral indefinida \displaystyle \int \sqrt{4 x - x^{2}}\,dx.
  • Pedido: calcular a primitiva (ou seja, encontrar uma expressão em x que, derivada, retorna \sqrt{4 x - x^{2}}), mais uma constante de integração C.

Passo 2

Observar e simplificar o integrando completando o quadrado (isso ajuda a reconhecer uma forma padrão). Vou reescrever 4x-x^{2}:
4x-x^{2} = -(x^{2}-4x) = -\bigl(x^{2}-4x+4\bigr)+4 = 4-(x-2)^{2}.
Logo a integral vira
\int \sqrt{4-(x-2)^{2}}\,dx.
Comentário amistoso: agora já dá para ver a forma \sqrt{a^{2}-u^{2}} com a=2 e u=x-2, que sugere uma substituição trigonométrica.

Passo 3

Fazer a substituição trigonométrica apropriada. Para integrandos do tipo \sqrt{a^{2}-u^{2}} escolhe-se u=a\sin\theta. Aqui:
u = x-2,\qquad a=2,\qquad \text{faço } x-2 = 2\sin\theta.ç
Então
x = 2 + 2\sin\theta, \qquad dx = 2\cos\theta\,d\theta.
Explicando o porquê: com x-2=2\sin\theta temos \sqrt{4-(x-2)^{2}}=\sqrt{4-4\sin^{2}\theta}=2\cos\theta (tomando \theta em um intervalo onde \cos\theta\ge0, por exemplo \theta\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}], para preservar o sinal positivo da raiz).

Passo 4

Substituir tudo na integral e simplificar passo a passo:
\int \sqrt{4-(x-2)^{2}}\,dx = \int \bigl(2\cos\theta\bigr)\cdot\bigl(2\cos\theta\,d\theta\bigr) = \int 4\cos^{2}\theta\,d\theta.
Ou seja a integral em x virou uma integral trigonométrica simples em \theta.

Passo 5

Integrar 4\cos^{2}\theta. Usar a identidade de redução:
\cos^{2}\theta = \frac{1+\cos(2\theta)}{2}.
Então
\int 4\cos^{2}\theta\,d\theta = 4\int \frac{1+\cos(2\theta)}{2}\,d\theta = 2\int \bigl(1+\cos(2\theta)\bigr)\,d\theta.
Agora integrar termo a termo:
2\int 1\,d\theta = 2\theta, \qquad 2\int \cos(2\theta)\,d\theta = 2\cdot\frac{\sin(2\theta)}{2} = \sin(2\theta).
Portanto a integral em \theta é
2\theta + \sin(2\theta) + C.

Passo 6

Voltar para a variável x. Precisamos expressar \theta e \sin(2\theta) em função de x.
Pela substituição x-2 = 2\sin\theta temos
\sin\theta = \frac{x-2}{2}, \qquad \theta = \arcsin\!\left(\frac{x-2}{2}\right).
Além disso, usar \sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta. Já sabemos \sin\theta; para \cos\theta usamos \cos\theta=\sqrt{1-\sin^{2}\theta}. Assim:
\cos\theta = \sqrt{1-\left(\frac{x-2}{2}\right)^{2}} = \sqrt{\frac{4-(x-2)^{2}}{4}} = \frac{\sqrt{4-(x-2)^{2}}}{2} = \frac{\sqrt{4x-x^{2}}}{2},
onde, para a raiz, mantivemos o sinal não-negativo como corresponde à definição original da função integranda.

Passo 7

Calcular \sin(2\theta) em termos de x:
\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta = 2\cdot\frac{x-2}{2}\cdot\frac{\sqrt{4x-x^{2}}}{2} = \frac{(x-2)\sqrt{4x-x^{2}}}{2}.
Substituindo \theta e \sin(2\theta) na expressão encontrada em \theta obtemos a primitiva em x:
2\theta + \sin(2\theta) + C = 2\arcsin\!\left(\frac{x-2}{2}\right) + \frac{(x-2)\sqrt{4x-x^{2}}}{2} + C.

Passo 8

Organizando a resposta de forma limpa e deixando claro o termo constante de integração C. Esta é uma forma final adequada para a primitiva:
\boxed{\,2\arcsin\!\left(\frac{x-2}{2}\right)+\frac{x-2}{2}\sqrt{4x-x^{2}}+C\,}.
Dica rápida para a prova: ao ver \sqrt{a^{2}- (x-b)^{2}} pense em completar quadrado e usar x-b=a\sin\theta — isso costuma resolver a maior parte desses integrandos.

Resposta

2\arcsin\!\left(\frac{x-2}{2}\right)+\frac{x-2}{2}\sqrt{4x-x^{2}}+C

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