Questão 5: (2.0 Pontos)
Calcule
Calcule
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dado: a integral indefinida
. - Pedido: calcular a primitiva (ou seja, encontrar uma expressão em
que, derivada, retorna ), mais uma constante de integração .
Passo 2
Observar e simplificar o integrando completando o quadrado (isso ajuda a reconhecer uma forma padrão). Vou reescrever
:
Logo a integral vira
Comentário amistoso: agora já dá para ver a forma
com
e
, que sugere uma substituição trigonométrica.
Passo 3
Fazer a substituição trigonométrica apropriada. Para integrandos do tipo
escolhe-se
. Aqui:
Então
Explicando o porquê: com
temos
(tomando
em um intervalo onde
, por exemplo
, para preservar o sinal positivo da raiz).
Passo 4
Substituir tudo na integral e simplificar passo a passo:
Ou seja a integral em
virou uma integral trigonométrica simples em
.
Passo 5
Integrar
. Usar a identidade de redução:
Então
Agora integrar termo a termo:
Portanto a integral em
é
Passo 6
Voltar para a variável
. Precisamos expressar
e
em função de
.
Pela substituição temos
Pela substituição
Além disso, usar
. Já sabemos
; para
usamos
. Assim:
onde, para a raiz, mantivemos o sinal não-negativo como corresponde à definição original da função integranda.
Passo 7
Calcular
em termos de
:
Substituindo
e
na expressão encontrada em
obtemos a primitiva em
:
Passo 8
Organizando a resposta de forma limpa e deixando claro o termo constante de integração
. Esta é uma forma final adequada para a primitiva:
Dica rápida para a prova: ao ver
pense em completar quadrado e usar
— isso costuma resolver a maior parte desses integrandos.