Questão 2: (3 Pontos)
Considere a função
a) Determine os intervalos onde
é crescente e os intervalos onde
é decrescente.
b) Determine os pontos de máximo local e os pontos de mínimo local, caso existam.
c) Determine os intervalos onde o gráfico é côncavo para cima e os intervalos onde o gráfico é côncavo para baixo.
d) Determine os pontos de inflexão, caso existam.
e) Determine as assíntotas horizontais e as assíntotas verticais do gráfico de
, caso existam.
Considere a função
b) Determine os pontos de máximo local e os pontos de mínimo local, caso existam.
c) Determine os intervalos onde o gráfico é côncavo para cima e os intervalos onde o gráfico é côncavo para baixo.
d) Determine os pontos de inflexão, caso existam.
e) Determine as assíntotas horizontais e as assíntotas verticais do gráfico de
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede, em cinco itens:
a) os intervalos onde é crescente e onde é decrescente;
b) os pontos de máximo local e de mínimo local (se existirem);
c) os intervalos de concavidade para cima e para baixo;
d) os pontos de inflexão (se existirem);
e) as assíntotas horizontais e verticais do gráfico de .
a) os intervalos onde
b) os pontos de máximo local e de mínimo local (se existirem);
c) os intervalos de concavidade para cima e para baixo;
d) os pontos de inflexão (se existirem);
e) as assíntotas horizontais e verticais do gráfico de
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado (condições iniciais que vamos usar):
- A função é dada por
. - O denominador
anula-se em , portanto esses pontos não pertencem ao domínio de . - O domínio de
é
Passo 2
Vamos lembrar o plano de ataque (sem ainda fazer contas): para monotonicidade usamos a derivada
; pontos críticos são pontos do domínio onde
ou
não existe; sinal de
determina crescente/decrescente. Para concavidade usamos a segunda derivada
:
concavidade para cima,
concavidade para baixo; pontos de inflexão são pontos do domínio onde
muda de sinal. Para assíntotas verticais procuramos zeros do denominador (pontos fora do domínio com comportamento
); para assíntotas horizontais calculamos
.
Passo 3
Calcular a primeira derivada
. Uso a regra da potência e a regra do produto (ou regra do quociente). Escrevo
Diferenciando, aplicando a regra da cadeia:
Colocando em forma de fração:
Explicação didática: ao derivar
usamos a regra da cadeia: derivada de
é
multiplicada por
. Aqui
e
. O fator
externo multiplica o resultado.
Passo 4
Encontrar pontos críticos e analisar o sinal de
.
- Onde
é zero? Zera quando o numerador é zero (denominador nunca zero no domínio):
Como
pertence ao domínio, é um ponto crítico.
- Onde
não existe? Ocorre quando , isto é . Mas não estão no domínio de , então não são pontos críticos do tipo interior do domínio — são assíntotas verticais.
Agora o sinal de
: observe que
para todo
. Assim o sinal de
é o sinal de
, ou seja:
- Para
: então . - Para
: então .
Como o domínio está dividido por
, concluímos:
- Em
e em temos portanto (função crescente nesses intervalos). - Em
e em temos portanto (função decrescente nesses intervalos).
Passo 5
Determinar máximos/minimos locais usando a mudança de sinal de
.
- Em
o sinal de passa de positivo (à esquerda) para negativo (à direita). Isso caracteriza um ponto de máximo local em . - Não há ponto onde
passe de negativo para positivo em nenhum ponto do domínio, então não existem mínimos locais.
Calcular o valor em
:
Portanto existe um máximo local em
.
Passo 6
Calcular a segunda derivada
para estudar concavidade. Partimos de
Derivo usando produto e cadeia. Primeiro escrevo a derivada passo a passo:
Explicando cada termo: derivada de
é
multiplicada por
(primeiro termo). Depois soma-se
multiplicado pela derivada de
, que pelo efeito da cadeia é
.
Simplifico o segundo termo:
Portanto
Colocando em denominador comum
:
Observação útil: o numerador
é sempre positivo (pois
para todo
). Assim o sinal de
é o mesmo que o sinal de
, ou seja do factor
.
Passo 7
Determinar intervalos de concavidade usando o sinal de
.
- Se
então e , logo . Portanto é côncava para cima em e em . - Se
então e , logo . Portanto é côncava para baixo em (lembrando que e não pertencem ao domínio).
Passo 8
Procurar pontos de inflexão: pontos do domínio onde
muda de sinal.
Os possíveis locais de troca de sinal de
são onde
, isto é
. Porém esses pontos não pertencem ao domínio de
(denominador zero), então não podem ser pontos de inflexão da função. Como o numerador de
nunca é zero, não há outros candidatos. Conclusão: não existem pontos de inflexão no domínio de
.
Passo 9
Determinar as assíntotas verticais e horizontais.
Assíntotas verticais: zeros do denominador
. Para entender o comportamento lateral:
- Quando
, então . - Quando
, então . - Quando
, então . - Quando
, então .
Logo as assíntotas verticais são
e
.
Assíntota horizontal: avaliar
.
Portanto
é uma assíntota horizontal. Observação: para
o valor de
aproxima-se de
pelo lado positivo (pois para
grande
e
).
Resposta
a) Crescente em
e em
. Decrescente em
e em
.
b) Máximo local em . Não há mínimos locais.
c) Côncavo para cima em e em
. Côncavo para baixo em
.
d) Não existem pontos de inflexão (os pontos onde a concavidade muda são , mas não pertencem ao domínio).
e) Assíntotas verticais: e
. Assíntota horizontal:
.
b) Máximo local em
c) Côncavo para cima em
d) Não existem pontos de inflexão (os pontos onde a concavidade muda são
e) Assíntotas verticais: