Questão 2: (3 Pontos)
Considere a função
f(x)=\frac{4}{x^{2}-4}
a) Determine os intervalos onde f é crescente e os intervalos onde f é decrescente.
b) Determine os pontos de máximo local e os pontos de mínimo local, caso existam.
c) Determine os intervalos onde o gráfico é côncavo para cima e os intervalos onde o gráfico é côncavo para baixo.
d) Determine os pontos de inflexão, caso existam.
e) Determine as assíntotas horizontais e as assíntotas verticais do gráfico de f, caso existam.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{4}{x^{2}-4}
e pede, em cinco itens:
a) os intervalos onde f é crescente e onde é decrescente;
b) os pontos de máximo local e de mínimo local (se existirem);
c) os intervalos de concavidade para cima e para baixo;
d) os pontos de inflexão (se existirem);
e) as assíntotas horizontais e verticais do gráfico de f.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado (condições iniciais que vamos usar):
  • A função é dada por f(x)=4/(x^{2}-4).
  • O denominador x^{2}-4 anula-se em x=\pm2, portanto esses pontos não pertencem ao domínio de f.
  • O domínio de f é
\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq -2,\\ x\neq 2\}.

Passo 2

Vamos lembrar o plano de ataque (sem ainda fazer contas): para monotonicidade usamos a derivada f'; pontos críticos são pontos do domínio onde f'=0 ou f' não existe; sinal de f' determina crescente/decrescente. Para concavidade usamos a segunda derivada f'': f''>0 concavidade para cima, f''<0 concavidade para baixo; pontos de inflexão são pontos do domínio onde f'' muda de sinal. Para assíntotas verticais procuramos zeros do denominador (pontos fora do domínio com comportamento \pm\infty); para assíntotas horizontais calculamos \lim_{x\to\pm\infty}f(x).

Passo 3

Calcular a primeira derivada f'(x). Uso a regra da potência e a regra do produto (ou regra do quociente). Escrevo
f(x)=4\,(x^{2}-4)^{-1}.
Diferenciando, aplicando a regra da cadeia:
f'(x)=4\cdot(-1)\,(x^{2}-4)^{-2}\cdot(2x) = -8x\,(x^{2}-4)^{-2}.
Colocando em forma de fração:
f'(x)=\frac{-8x}{(x^{2}-4)^{2}}.
Explicação didática: ao derivar (x^{2}-4)^{-1} usamos a regra da cadeia: derivada de u^{-1} é -1\cdot u^{-2} multiplicada por u'. Aqui u=x^{2}-4 e u'=2x. O fator 4 externo multiplica o resultado.

Passo 4

Encontrar pontos críticos e analisar o sinal de f'.
  1. Onde f' é zero? Zera quando o numerador é zero (denominador nunca zero no domínio):
-8x=0 \quad\Rightarrow\quad x=0.
Como x=0 pertence ao domínio, é um ponto crítico.
  1. Onde f' não existe? Ocorre quando (x^{2}-4)^{2}=0, isto é x=\pm2. Mas x=\pm2 não estão no domínio de f, então não são pontos críticos do tipo interior do domínio — são assíntotas verticais.
Agora o sinal de f': observe que (x^{2}-4)^{2}>0 para todo x\neq\pm2. Assim o sinal de f'(x) é o sinal de -8x, ou seja:
  • Para x<0: -8x>0 então f'(x)>0.
  • Para x>0: -8x<0 então f'(x)<0.
Como o domínio está dividido por x=-2,0,2, concluímos:
  • Em (-\infty,-2) e em (-2,0) temos x<0 portanto f'>0 (função crescente nesses intervalos).
  • Em (0,2) e em (2,\infty) temos x>0 portanto f'<0 (função decrescente nesses intervalos).

Passo 5

Determinar máximos/minimos locais usando a mudança de sinal de f'.
  • Em x=0 o sinal de f' passa de positivo (à esquerda) para negativo (à direita). Isso caracteriza um ponto de máximo local em x=0.
  • Não há ponto onde f' passe de negativo para positivo em nenhum ponto do domínio, então não existem mínimos locais.
Calcular o valor em x=0:
f(0)=\frac{4}{0^{2}-4}=\frac{4}{-4}=-1.
Portanto existe um máximo local em \bigl(0,-1\bigr).

Passo 6

Calcular a segunda derivada f''(x) para estudar concavidade. Partimos de
f'(x) = -8x\,(x^{2}-4)^{-2}.
Derivo usando produto e cadeia. Primeiro escrevo a derivada passo a passo:
f''(x) = -8\cdot (x^{2}-4)^{-2} + (-8x)\cdot(-2)\,(x^{2}-4)^{-3}\cdot(2x).
Explicando cada termo: derivada de -8x é -8 multiplicada por (x^{2}-4)^{-2} (primeiro termo). Depois soma-se -8x multiplicado pela derivada de (x^{2}-4)^{-2}, que pelo efeito da cadeia é -2)(x^{2}-4)^{-3}\cdot(2x).
Simplifico o segundo termo:
(-8x)\cdot(-2)\cdot(2x) = (-8x)\cdot(-4x)=32x^{2}.
Portanto
f''(x)=\frac{-8}{(x^{2}-4)^{2}}+\frac{32x^{2}}{(x^{2}-4)^{3}}.
Colocando em denominador comum (x^{2}-4)^{3}:
f''(x)=\frac{-8(x^{2}-4)+32x^{2}}{(x^{2}-4)^{3}}=\frac{-8x^{2}+32+32x^{2}}{(x^{2}-4)^{3}}=\frac{8(3x^{2}+4)}{(x^{2}-4)^{3}}.
Observação útil: o numerador 8(3x^{2}+4) é sempre positivo (pois 3x^{2}+4>0 para todo x). Assim o sinal de f''(x) é o mesmo que o sinal de (x^{2}-4)^{3}, ou seja do factor (x^{2}-4).

Passo 7

Determinar intervalos de concavidade usando o sinal de f''.
  • Se |x|>2 então x^{2}-4>0 e (x^{2}-4)^{3}>0, logo f''(x)>0. Portanto f é côncava para cima em (-\infty,-2) e em (2,\infty).
  • Se |x|<2 então x^{2}-4<0 e (x^{2}-4)^{3}<0, logo f''(x)<0. Portanto f é côncava para baixo em (-2,2) (lembrando que -2 e 2 não pertencem ao domínio).

Passo 8

Procurar pontos de inflexão: pontos do domínio onde f'' muda de sinal.
Os possíveis locais de troca de sinal de f'' são onde x^{2}-4=0, isto é x=\pm2. Porém esses pontos não pertencem ao domínio de f (denominador zero), então não podem ser pontos de inflexão da função. Como o numerador de f'' nunca é zero, não há outros candidatos. Conclusão: não existem pontos de inflexão no domínio de f.

Passo 9

Determinar as assíntotas verticais e horizontais.
Assíntotas verticais: zeros do denominador x^{2}-4=0\Rightarrow x=\pm2. Para entender o comportamento lateral:
  • Quando x\to 2^{-}, x^{2}-4\to 0^{-} então f(x)\to -\infty.
  • Quando x\to 2^{+}, x^{2}-4\to 0^{+} então f(x)\to +\infty.
  • Quando x\to -2^{-}, x^{2}-4\to 0^{+} então f(x)\to +\infty.
  • Quando x\to -2^{+}, x^{2}-4\to 0^{-} então f(x)\to -\infty.
Logo as assíntotas verticais são x=2 e x=-2.
Assíntota horizontal: avaliar \lim_{x\to\pm\infty}f(x).
\lim_{x\to\pm\infty}\frac{4}{x^{2}-4}=0.
Portanto y=0 é uma assíntota horizontal. Observação: para x\to\pm\infty o valor de f(x) aproxima-se de 0 pelo lado positivo (pois para |x| grande x^{2}-4>0 e f(x)>0).

Resposta

a) Crescente em (-\infty,-2) e em (-2,0). Decrescente em (0,2) e em (2,\infty).
b) Máximo local em \bigl(0,-1\bigr). Não há mínimos locais.
c) Côncavo para cima em (-\infty,-2) e em (2,\infty). Côncavo para baixo em (-2,2).
d) Não existem pontos de inflexão (os pontos onde a concavidade muda são x=\pm2, mas não pertencem ao domínio).
e) Assíntotas verticais: x=-2 e x=2. Assíntota horizontal: y=0.

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