Exercício Proposto
Arrasto de um transdutor sonar.
O arrasto de um transdutor sonar deve ser previsto com base em dados de teste em túnel de vento. O protótipo, uma esfera com
de diâmetro, deve ser rebocado a uma velocidade de
na água do mar a
. O modelo tem
de diâmetro. Determinar a velocidade de teste requerida no ar. Se o arrasto do modelo nas condições de teste for de 25 N , estime o arrasto do protótipo.
Dados:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Determinar a velocidade de ensaio no ar para o modelo de diâmetro
de forma que haja similitude dinâmica com o protótipo (uma esfera de diâmetro ) que será rebocado na água do mar a . - Se o arrasto medido no modelo nas condições de teste (ar) for
, estimar o arrasto do protótipo nas condições reais (água).
Dados fornecidos (vou listar exatamente os números do enunciado):
Também é dada a relação adimensional:
Passo 2
O que essa relação significa (aula rápida e prática):
- A quantidade
chama-se número de Reynolds. É uma medida adimensional que compara forças de inércia com forças viscosas no escoamento. Aqui: -
= densidade do fluido ( ), -
= velocidade característica ( ), -
= comprimento característico (aqui o diâmetro, em ), -
= viscosidade dinâmica ( ).
-
- A quantidade
é o coeficiente adimensional de arrasto (aqui escrito genericamente como a função ). O enunciado diz que esse coeficiente depende apenas de . - Para que o modelo em túnel gere o mesmo coeficiente adimensional do protótipo (e, portanto, que a leitura de arrasto seja escalável), devemos igualar os números de Reynolds do modelo e do protótipo:
- Quando
for igual, teremos também igualdade do coeficiente adimensional:
Isto nos dá duas equações úteis: uma para achar
impondo igualdade de
, e outra para obter
conhecendo
.
Passo 3
Calcular o número de Reynolds do protótipo (em água). Usamos a fórmula:
Substituindo os números:
Fazendo as contas passo a passo:
Passo 4
Igualar
a
e isolar
. A expressão:
Logo,
Substituindo os valores:
Computando numericamente passo a passo:
Pequeno comentário prático: esse valor é muito alto para um túnel de vento subsonico usual e mostra a dificuldade de alcançar similitude Reynolds entre água e ar com escalas tão diferentes — mas matematicamente é a velocidade requerida para igualar
.
Passo 5
Agora usar a igualdade do coeficiente adimensional para estimar o arrasto do protótipo. Partimos da igualdade:
Isolando
:
Passo 6
Substituir valores e calcular
passo a passo.
Calcule numerador da fração:
Calcule denominador da fração:
Agora a razão:
Finalmente:
Passo 7
Interpretação final curta e incentivo: obtivemos que, para manter a mesma física adimensional, o ensaio do modelo em ar exigiria uma velocidade muito alta (
); com essa condição (e a medida de
no modelo) o arrasto estimado do protótipo na água seria cerca de
. Sei que números grandes e passos longos assustam, mas você mandou bem só por seguir até aqui — repita os passos com calma que na prova você consegue repetir a lógica rápido!
Resposta
Velocidade de teste no ar:
Arrasto estimado do protótipo:
Arrasto estimado do protótipo: