Exercício Proposto

Arrasto de um transdutor sonar.

O arrasto de um transdutor sonar deve ser previsto com base em dados de teste em túnel de vento. O protótipo, uma esfera com \mathbf{0 , 3 0 m} de diâmetro, deve ser rebocado a uma velocidade de 2,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s} na água do mar a 5^{\circ} \mathrm{C}. O modelo tem 0,05 \mathrm{~m} de diâmetro. Determinar a velocidade de teste requerida no ar. Se o arrasto do modelo nas condições de teste for de 25 N , estime o arrasto do protótipo.
Dados:
\rho_{\mathrm{ar}}=1,2 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}
\mu_{\mathrm{ar}}=1,8.10^{-5} \mathrm{~N} . \mathrm{s} / \mathrm{m}^{2}
\rho_{\text {agua }}=1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}
\frac{F}{\rho \cdot V^{2} \cdot D^{2}}=f\left(\frac{\rho \cdot V \cdot D}{\mu}\right)
\mu_{\text {agua }}=1,5.10^{-3} \mathrm{~N} . \mathrm{s} / \mathrm{m}^{2}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  1. Determinar a velocidade de ensaio no ar para o modelo de diâmetro \,0,05\\ \mathrm{m}\, de forma que haja similitude dinâmica com o protótipo (uma esfera de diâmetro \,0,30\\ \mathrm{m}\,) que será rebocado na água do mar a \,2,5\\ \mathrm{m/s}\,.
  2. Se o arrasto medido no modelo nas condições de teste (ar) for \,25\\ \mathrm{N}\,, estimar o arrasto do protótipo nas condições reais (água).
Dados fornecidos (vou listar exatamente os números do enunciado):
\rho_{\text{ar}}=1,2\\ \mathrm{kg/m^{3}},\qquad \mu_{\text{ar}}=1,8\times10^{-5}\\ \mathrm{N\cdot s/m^{2}},
\rho_{\text{agua}}=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}},\qquad \mu_{\text{agua}}=1,5\times10^{-3}\\ \mathrm{N\cdot s/m^{2}},
D_{\text{protótipo}}=0,30\\ \mathrm{m},\qquad D_{\text{modelo}}=0,05\\ \mathrm{m},ó
V_{\text{protótipo}}=2,5\\ \mathrm{m/s},\qquad F_{\text{modelo}}=25\\ \mathrm{N}.ó
Também é dada a relação adimensional:
\frac{F}{\rho V^{2} D^{2}}=f\!\left(\frac{\rho V D}{\mu}\right).

Passo 2

O que essa relação significa (aula rápida e prática):
  • A quantidade \displaystyle Re=\frac{\rho V D}{\mu} chama-se número de Reynolds. É uma medida adimensional que compara forças de inércia com forças viscosas no escoamento. Aqui:
    • \rho = densidade do fluido ( \mathrm{kg/m^{3}}),
    • V = velocidade característica ( \mathrm{m/s}),
    • D = comprimento característico (aqui o diâmetro, em \mathrm{m}),
    • \mu = viscosidade dinâmica ( \mathrm{N\cdot s/m^{2}}).
  • A quantidade \displaystyle C=\frac{F}{\rho V^{2} D^{2}} é o coeficiente adimensional de arrasto (aqui escrito genericamente como a função f(Re)). O enunciado diz que esse coeficiente depende apenas de Re.
  • Para que o modelo em túnel gere o mesmo coeficiente adimensional do protótipo (e, portanto, que a leitura de arrasto seja escalável), devemos igualar os números de Reynolds do modelo e do protótipo: Re_{\text{protótipo}}=Re_{\text{modelo}}.ó
  • Quando Re for igual, teremos também igualdade do coeficiente adimensional: \frac{F_{\text{protótipo}}}{\rho_{\text{agua}}V_{\text{protótipo}}^{2}D_{\text{protótipo}}^{2}} = \frac{F_{\text{modelo}}}{\rho_{\text{ar}}V_{\text{modelo}}^{2}D_{\text{modelo}}^{2}}.óóó
Isto nos dá duas equações úteis: uma para achar V_{\text{modelo}} impondo igualdade de Re, e outra para obter F_{\text{protótipo}}ó conhecendo F_{\text{modelo}}.

Passo 3

Calcular o número de Reynolds do protótipo (em água). Usamos a fórmula:
Re_{\text{protótipo}}=\frac{\rho_{\text{agua}}\;V_{\text{protótipo}}\;D_{\text{protótipo}}}{\mu_{\text{agua}}}.óóó
Substituindo os números:
Re_{\text{protótipo}}=\frac{1000\cdot 2,5\cdot 0,30}{1,5\times10^{-3}}.ó
Fazendo as contas passo a passo:
1000\cdot 2,5\cdot 0,30=1000\cdot 0,75=750,
Re_{\text{protótipo}}=\frac{750}{1,5\times10^{-3}}=\frac{750}{0,0015}=5,0\times10^{5}.ó

Passo 4

Igualar Re_{\text{modelo}} a Re_{\text{protótipo}}ó e isolar V_{\text{modelo}}. A expressão:
Re_{\text{modelo}}=\frac{\rho_{\text{ar}}\;V_{\text{modelo}}\;D_{\text{modelo}}}{\mu_{\text{ar}}}=Re_{\text{protótipo}}.ó
Logo,
V_{\text{modelo}}=\frac{Re_{\text{protótipo}}\;\mu_{\text{ar}}}{\rho_{\text{ar}}\;D_{\text{modelo}}}.ó
Substituindo os valores:
V_{\text{modelo}}=\frac{5,0\times10^{5}\cdot 1,8\times10^{-5}}{1,2\cdot 0,05}.
Computando numericamente passo a passo:
5,0\times10^{5}\cdot 1,8\times10^{-5}=9,0,
1,2\cdot 0,05=0,06,
V_{\text{modelo}}=\frac{9,0}{0,06}=150\\ \mathrm{m/s}.
Pequeno comentário prático: esse valor é muito alto para um túnel de vento subsonico usual e mostra a dificuldade de alcançar similitude Reynolds entre água e ar com escalas tão diferentes — mas matematicamente é a velocidade requerida para igualar Re.

Passo 5

Agora usar a igualdade do coeficiente adimensional para estimar o arrasto do protótipo. Partimos da igualdade:
\frac{F_{\text{protótipo}}}{\rho_{\text{agua}}V_{\text{protótipo}}^{2}D_{\text{protótipo}}^{2}} = \frac{F_{\text{modelo}}}{\rho_{\text{ar}}V_{\text{modelo}}^{2}D_{\text{modelo}}^{2}}.óóó
Isolando F_{\text{protótipo}}ó:
F_{\text{protótipo}}=F_{\text{modelo}}\cdot \frac{\rho_{\text{agua}}V_{\text{protótipo}}^{2}D_{\text{protótipo}}^{2}} {\rho_{\text{ar}}V_{\text{modelo}}^{2}D_{\text{modelo}}^{2}}.óóó

Passo 6

Substituir valores e calcular F_{\text{protótipo}}ó passo a passo.
Calcule numerador da fração:
\rho_{\text{agua}}V_{\text{protótipo}}^{2}D_{\text{protótipo}}^{2} =1000\cdot (2,5)^{2}\cdot (0,30)^{2}.óó
(2,5)^{2}=6,25,\qquad (0,30)^{2}=0,09,
1000\cdot 6,25\cdot 0,09=1000\cdot 0,5625=562,5.
Calcule denominador da fração:
\rho_{\text{ar}}V_{\text{modelo}}^{2}D_{\text{modelo}}^{2} =1,2\cdot (150)^{2}\cdot (0,05)^{2}.
(150)^{2}=22500,\qquad (0,05)^{2}=0,0025,
22500\cdot 0,0025=56,25,
1,2\cdot 56,25=67,5.
Agora a razão:
\frac{562,5}{67,5}=8,\overline{3}=8,333\ldots
Finalmente:
F_{\text{protótipo}}=25\cdot 8,333\ldots \approx 208,33\\ \mathrm{N}.ó

Passo 7

Interpretação final curta e incentivo: obtivemos que, para manter a mesma física adimensional, o ensaio do modelo em ar exigiria uma velocidade muito alta ( 150\\ \mathrm{m/s}); com essa condição (e a medida de 25\\ \mathrm{N} no modelo) o arrasto estimado do protótipo na água seria cerca de 208,3\\ \mathrm{N}. Sei que números grandes e passos longos assustam, mas você mandou bem só por seguir até aqui — repita os passos com calma que na prova você consegue repetir a lógica rápido!

Resposta

Velocidade de teste no ar: 150\\ \mathrm{m/s}
Arrasto estimado do protótipo: 208{,}33\\ \mathrm{N}

Exercícios relacionados