Encontre a derivada de
nos seguintes casos:
.
Passo 1
Enunciado: temos a função
e a tarefa é encontrar a derivada de
em função de
.
Informações dadas:
.
O que se pede:
Calcular , a derivada de
em relação a
.
Calcular
Passo 2
Ideia principal (em palavras): a função é uma exponencial cuja potência é uma função de
. Quando temos uma função do tipo
, a derivada é obtida usando a regra da cadeia: derivamos o exponencial deixando-o igual e multiplicamos pela derivada do expoente
.
Regra da cadeia (fórmula que vamos usar):
Explicação dessa fórmula de forma simples: imaginemos que
muda com
. A função
cresce com
com taxa igual a
; se
varia com
, temos que multiplicar pela velocidade
com que
muda. Por isso aparece o fator
.
Passo 3
Identificamos o expoente
e calculamos
.
Definimos
Aqui
é o produto de duas funções:
e
. Para derivar um produto usamos a regra do produto.
Regra do produto (fórmula):
Explicando: a variação do produto tem duas contribuições — a variação do primeiro mantendo o segundo fixo, mais a variação do segundo mantendo o primeiro fixo.
Passo 4
Calculemos as derivadas das partes:
Aplicando a regra do produto:
Passo 5
Podemos simplificar (fatorar)
para uma forma que às vezes é mais prática em prova:
Essa forma é útil para ver fatores comuns e para avaliar rapidamente em pontos.
Passo 6
Agora voltamos à regra da cadeia: como
, temos que a derivada de
é o próprio
multiplicado por
. Já calculamos
no passo anterior, então basta multiplicar.
Dica prática para prova: escreva primeiro
, calcule
com calma usando a regra do produto, e só então aplique a regra da cadeia multiplicando por
. Assim você evita erros bobos.