Encontre a derivada de f(x) nos seguintes casos:
f(x)=e^{x^{3} \sin x}.

Passo 1

Enunciado: temos a função f(x)=e^{x^{3}\sin x} e a tarefa é encontrar a derivada de f em função de x.
Informações dadas:
\,f(x)=e^{x^{3}\sin x}.
O que se pede:
Calcular f'(x), a derivada de f em relação a x.

Passo 2

Ideia principal (em palavras): a função é uma exponencial cuja potência é uma função de x. Quando temos uma função do tipo e^{u(x)}, a derivada é obtida usando a regra da cadeia: derivamos o exponencial deixando-o igual e multiplicamos pela derivada do expoente u(x).
Regra da cadeia (fórmula que vamos usar):
\text{Se }F(x)=e^{u(x)}\text{ então }F'(x)=e^{u(x)}\cdot u'(x).ã
Explicação dessa fórmula de forma simples: imaginemos que u(x) muda com x. A função e^{u} cresce com u com taxa igual a e^{u}; se u varia com x, temos que multiplicar pela velocidade \,u'(x) com que u muda. Por isso aparece o fator u'(x).

Passo 3

Identificamos o expoente u(x) e calculamos u'(x).
Definimos
u(x) = x^{3}\sin x.
Aqui u é o produto de duas funções: a(x)=x^{3} e b(x)=\sin x. Para derivar um produto usamos a regra do produto.
Regra do produto (fórmula):
\text{Se }u(x)=a(x)\,b(x)\text{ então }u'(x)=a'(x)\,b(x)+a(x)\,b'(x).ã
Explicando: a variação do produto tem duas contribuições — a variação do primeiro mantendo o segundo fixo, mais a variação do segundo mantendo o primeiro fixo.

Passo 4

Calculemos as derivadas das partes:
a(x)=x^{3}\quad\Rightarrow\quad a'(x)=3x^{2},
b(x)=\sin x\quad\Rightarrow\quad b'(x)=\cos x.
Aplicando a regra do produto:
u'(x)=a'(x)\,b(x)+a(x)\,b'(x)=3x^{2}\sin x + x^{3}\cos x.

Passo 5

Podemos simplificar (fatorar) u'(x) para uma forma que às vezes é mais prática em prova:
u'(x)=x^{2}\bigl(3\sin x + x\cos x\bigr).
Essa forma é útil para ver fatores comuns e para avaliar rapidamente em pontos.

Passo 6

Agora voltamos à regra da cadeia: como f(x)=e^{u(x)}, temos que a derivada de f é o próprio e^{u(x)} multiplicado por u'(x). Já calculamos u'(x) no passo anterior, então basta multiplicar.
Dica prática para prova: escreva primeiro u(x)=x^{3}\sin x, calcule u'(x) com calma usando a regra do produto, e só então aplique a regra da cadeia multiplicando por e^{u(x)}. Assim você evita erros bobos.

Resposta

f'(x)=e^{x^{3}\sin x}\left(3x^{2}\sin x + x^{3}\cos x\right)

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