Exercício exemplo 7.4, Fox & McDonald, 6a edição.
Arrasto de um transdutor sonar.
O arrasto de um transdutor sonar deve ser previsto com base em dados de teste em túnel de vento. O protótipo, uma esfera com 0,30 \mathrm{~m} de diâmetro, deve ser rebocado a uma velocidade de 2,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s} na água do mar a 5^{\circ} \mathrm{C}. O modelo tem 0,15 \mathrm{~m} de diâmetro. Determinar a velocidade de teste requerida no ar. Se o arrasto do modelo nas condições de teste for de 25 N , estime o arrasto do protótipo.
Dados:
\rho_{\mathrm{ar}}=1,2 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}
\mu_{\mathrm{ar}}=1,8.10^{-5} \mathrm{~N} . \mathrm{s} / \mathrm{m}^{2}
\rho_{\text {agua }}=1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}
\frac{F}{\rho \cdot V^{2} \cdot D^{2}}=f\left(\frac{\rho \cdot V \cdot D}{\mu}\right)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  1. Determinar a velocidade de teste no ar necessária para que o modelo (esfera de diâmetro \,0,15\\ \mathrm{m}\,) reproduza as condições dinâmicas do protótipo (esfera de diâmetro \,0,30\\ \mathrm{m}\,) que será rebocado na água do mar a \,2{,}5\\ \mathrm{m/s}\, e temperatura \,5^\circ\mathrm{C}.
  2. Sabendo que o arrasto medido no modelo nas condições de teste é \,25\\ \mathrm{N}\,, estimar o arrasto do protótipo nas condições reais (água).
Informações e dados fornecidos:
\rho_{\text{ar}}=1{,}2\\ \mathrm{kg/m^{3}},\qquad \mu_{\text{ar}}=1{,}8\cdot 10^{-5}\\ \mathrm{N\cdot s/m^{2}},
\rho_{\text{água}}=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}},á
\text{protótipo: }D_{\text{p}}=0{,}30\\ \mathrm{m},\quad V_{\text{p}}=2{,}5\\ \mathrm{m/s},ó
\text{modelo: }D_{\text{m}}=0{,}15\\ \mathrm{m},\quad F_{\text{m}}=25\\ \mathrm{N}.
Relação adimensional dada:
\frac{F}{\rho V^{2} D^{2}} = f\!\left(\frac{\rho V D}{\mu}\right).
Observação importante: o enunciado não forneceu a viscosidade dinâmica da água a 5^\circ\mathrm{C}. Vou usar o valor típico da viscosidade dinâmica da água (ou água do mar, próximo o suficiente para este cálculo) a 5^\circ\mathrm{C}:
\mu_{\text{água}} = 1{,}52\cdot 10^{-3}\\ \mathrm{N\cdot s/m^{2}}.á
(Se quiser, depois eu explico rapidamente de onde vem esse número; por enquanto seguimos com ele para poder resolver.)

Passo 2

Conceitos e estratégia — por que igualamos alguma coisa e o que vamos igualar:
  • A quantidade \displaystyle \frac{F}{\rho V^{2} D^{2}} depende apenas do número de Reynolds \,Re=\dfrac{\rho V D}{\mu}\,, segundo a relação dada. Isso significa que, se dois casos têm o mesmo Re, então terão o mesmo valor de \displaystyle \frac{F}{\rho V^{2} D^{2}} (ou seja, a função f avaliada no mesmo argumento dá o mesmo resultado).
  • Portanto, para que o modelo em ar reproduza as características de escoamento do protótipo na água, devemos igualar os números de Reynolds:
Re_{\text{m,ar}} = Re_{\text{p,água}}.á
  • Fórmula do número de Reynolds (eu explico devagar): \,Re=\dfrac{\rho V D}{\mu}\,. Aqui:
    • \rho é a densidade do fluido (kg/m^3),
    • V é a velocidade característica (m/s),
    • D é o comprimento característico (aqui o diâmetro da esfera, em m),
    • \mu é a viscosidade dinâmica do fluido (N·s/m^2).
      O Re mede a razão entre forças inerciais e viscosas; igualar Re significa reproduzir a relação dessas forças entre o modelo e o protótipo.
  • A partir da igualdade de Re resolvemos para a velocidade de teste no ar V_{\text{m,ar}}:
\dfrac{\rho_{\text{ar}}\,V_{\text{m,ar}}\,D_{\text{m}}}{\mu_{\text{ar}}} = \dfrac{\rho_{\text{água}}\,V_{\text{p}}\,D_{\text{p}}}{\mu_{\text{água}}}.áá
Desse modo obtemos V_{\text{m,ar}}.
  • Para estimar o arrasto do protótipo usamos a igualdade da função adimensional:
\frac{F_{\text{p}}}{\rho_{\text{água}}\,V_{\text{p}}^{2}\,D_{\text{p}}^{2}} = \frac{F_{\text{m}}}{\rho_{\text{ar}}\,V_{\text{m,ar}}^{2}\,D_{\text{m}}^{2}}.á
Daí isolamos F_{\text{p}}:
F_{\text{p}} = F_{\text{m}}\; \frac{\rho_{\text{água}}\,V_{\text{p}}^{2}\,D_{\text{p}}^{2}} {\rho_{\text{ar}}\,V_{\text{m,ar}}^{2}\,D_{\text{m}}^{2}}.á

Passo 3

Calcular o número de Reynolds do protótipo na água (etapa numérica):
Usamos
Re_{\text{p}} = \frac{\rho_{\text{água}}\,V_{\text{p}}\,D_{\text{p}}}{\mu_{\text{água}}}.áá
Substituindo os valores:
Re_{\text{p}} = \frac{1000\cdot 2{,}5 \cdot 0{,}30}{1{,}52\cdot 10^{-3}}.
Calcule o numerador:
1000\cdot 2{,}5 \cdot 0{,}30 = 1000\cdot 0{,}75 = 750.
Agora o Reynolds:
Re_{\text{p}} = \frac{750}{1{,}52\cdot 10^{-3}} \approx 4{,}93421\cdot 10^{5}.

Passo 4

Determinar a velocidade de teste no ar do modelo impondo Re_{\text{m,ar}}=Re_{\text{p}}.
A equação é
V_{\text{m,ar}} = \frac{Re_{\text{p}}\;\mu_{\text{ar}}}{\rho_{\text{ar}}\,D_{\text{m}}}.
Substituindo números:
V_{\text{m,ar}} = \frac{4{,}93421\cdot 10^{5}\cdot 1{,}8\cdot 10^{-5}}{1{,}2\cdot 0{,}15}.
Calcule o numerador:
4{,}93421\cdot 10^{5}\cdot 1{,}8\cdot 10^{-5} \approx 8{,}8815789.
Denominador:
1{,}2\cdot 0{,}15 = 0{,}18.
Logo
V_{\text{m,ar}} \approx \frac{8{,}8815789}{0{,}18} \approx 49{,}3421053\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando adequadamente:
V_{\text{m,ar}} \approx 49{,}34\\ \mathrm{m/s}.
(Dica prática para prova: normalmente você calcula Re do protótipo e depois usa a fórmula invertida para achar V do modelo; mantenha uma ou duas casas extras durante as contas e arredonde só no final.)

Passo 5

Estimar o arrasto do protótipo usando a igualdade adimensional.
Usamos
F_{\text{p}} = F_{\text{m}}\; \frac{\rho_{\text{água}}\,V_{\text{p}}^{2}\,D_{\text{p}}^{2}} {\rho_{\text{ar}}\,V_{\text{m,ar}}^{2}\,D_{\text{m}}^{2}}.á
Substituindo os valores já conhecidos:
F_{\text{p}} = 25\cdot \frac{1000\cdot (2{,}5)^{2}\cdot (0{,}30)^{2}} {1{,}2\cdot (49{,}3421053)^{2}\cdot (0{,}15)^{2}}.
Calcule passo a passo:
(2{,}5)^{2} = 6{,}25,\qquad (0{,}30)^{2}=0{,}09.
Numerador:
1000\cdot 6{,}25\cdot 0{,}09 = 1000\cdot 0{,}5625 = 562{,}5.
Denominador:
(49{,}3421053)^{2}\approx 2434{,}49,\qquad (0{,}15)^{2}=0{,}0225.
Então
1{,}2\cdot 2434{,}49 \cdot 0{,}0225 \approx 65{,}731.
Agora a razão:
\frac{562{,}5}{65{,}731} \approx 8{,}556.
Finalmente:
F_{\text{p}} \approx 25\cdot 8{,}556 \approx 213{,}9\\ \mathrm{N}.
Arredondando:
F_{\text{p}} \approx 214\\ \mathrm{N}.

Resposta

V_{\text{m,ar}} \approx 49{,}34\\ \mathrm{m/s}\n
F_{\text{p}} \approx 214\\ \mathrm{N}

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