Exercício exemplo 7.4, Fox & McDonald, 6a edição.
Arrasto de um transdutor sonar.
O arrasto de um transdutor sonar deve ser previsto com base em dados de teste em túnel de vento. O protótipo, uma esfera com
de diâmetro, deve ser rebocado a uma velocidade de
na água do mar a
. O modelo tem
de diâmetro. Determinar a velocidade de teste requerida no ar. Se o arrasto do modelo nas condições de teste for de 25 N , estime o arrasto do protótipo.
Dados:
Arrasto de um transdutor sonar.
O arrasto de um transdutor sonar deve ser previsto com base em dados de teste em túnel de vento. O protótipo, uma esfera com
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Determinar a velocidade de teste no ar necessária para que o modelo (esfera de diâmetro
) reproduza as condições dinâmicas do protótipo (esfera de diâmetro ) que será rebocado na água do mar a e temperatura . - Sabendo que o arrasto medido no modelo nas condições de teste é
, estimar o arrasto do protótipo nas condições reais (água).
Informações e dados fornecidos:
Relação adimensional dada:
Observação importante: o enunciado não forneceu a viscosidade dinâmica da água a
. Vou usar o valor típico da viscosidade dinâmica da água (ou água do mar, próximo o suficiente para este cálculo) a
:
(Se quiser, depois eu explico rapidamente de onde vem esse número; por enquanto seguimos com ele para poder resolver.)
Passo 2
Conceitos e estratégia — por que igualamos alguma coisa e o que vamos igualar:
-
A quantidade
depende apenas do número de Reynolds , segundo a relação dada. Isso significa que, se dois casos têm o mesmo , então terão o mesmo valor de (ou seja, a função avaliada no mesmo argumento dá o mesmo resultado). -
Portanto, para que o modelo em ar reproduza as características de escoamento do protótipo na água, devemos igualar os números de Reynolds:
-
Fórmula do número de Reynolds (eu explico devagar):
. Aqui: -
é a densidade do fluido (kg/m^3), -
é a velocidade característica (m/s), -
é o comprimento característico (aqui o diâmetro da esfera, em m), -
é a viscosidade dinâmica do fluido (N·s/m^2).
Omede a razão entre forças inerciais e viscosas; igualar significa reproduzir a relação dessas forças entre o modelo e o protótipo.
-
-
A partir da igualdade de
resolvemos para a velocidade de teste no ar :
Desse modo obtemos
.
- Para estimar o arrasto do protótipo usamos a igualdade da função adimensional:
Daí isolamos
:
Passo 3
Calcular o número de Reynolds do protótipo na água (etapa numérica):
Usamos
Substituindo os valores:
Calcule o numerador:
Agora o Reynolds:
Passo 4
Determinar a velocidade de teste no ar do modelo impondo
.
A equação é
Substituindo números:
Calcule o numerador:
Denominador:
Logo
Arredondando adequadamente:
(Dica prática para prova: normalmente você calcula
do protótipo e depois usa a fórmula invertida para achar
do modelo; mantenha uma ou duas casas extras durante as contas e arredonde só no final.)
Passo 5
Estimar o arrasto do protótipo usando a igualdade adimensional.
Usamos
Substituindo os valores já conhecidos:
Calcule passo a passo:
Numerador:
Denominador:
Então
Agora a razão:
Finalmente:
Arredondando: