Exercício 4) Prove que C[0,1] (o espaço das funções contínuas em [0,1] ), com a norma do supremo, \|f\|_{\infty}=\sup _{x \in[0,1]}|f(x)|, é um espaço separável. Dica: Considere o conjunto dos polinômios com coeficientes racionais.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado.
Pede-se provar que o espaço \,C[0,1], isto é, o conjunto de todas as funções contínuas em [0,1], equipado com a norma do supremo
\|f\|_{\infty}=\sup_{x\in[0,1]}|f(x)|,
é separável.
Lembrete: “separável” significa que existe um subconjunto denso e contável em \,C[0,1].
Dica do enunciado: considerar o conjunto dos polinômios com coeficientes racionais. Ou seja, o candidato natural para a base contável é
Vamos mostrar (1) que \mathcal{P}_{\mathbb{Q}} é contável e (2) que \mathcal{P}_{\mathbb{Q}} é denso em (C[0,1],\|\cdot\|_{\infty}). Esses dois itens juntos implicam separabilidade.
Passo 2
Definições e ferramentas que usaremos (explicadas de forma simples).
Definição de denso: um subconjunto A\subset C[0,1] é denso se para todo f\in C[0,1] e todo \varepsilon>0 existe g\in A tal que \|f-g\|_{\infty}<\varepsilon. Intuição: qualquer função contínua pode ser aproximada arbitrariamente bem por elementos de A.
Para mostrar densidade vou usar o Teorema de Aproximação de Weierstrass (afirmação): para toda f\in C[0,1] e todo \varepsilon>0 existe um polinômio p com coeficientes reais tal que
\|f-p\|_{\infty}<\varepsilon.
Breve intuição do teorema: polinômios são funções muito flexíveis e conseguem “seguir” qualquer curva contínua em um intervalo compacto; o teorema garante uma aproximação uniforme. Não vou provar Weierstrass aqui (é um teorema clássico), mas vou usá-lo explicitamente para aproximar f por polinômios com coeficientes reais.
Passo 3
Provar que \mathcal{P}_{\mathbb{Q}} é contável.
Cada polinômio de grau exatamente n é determinado pela tupla de coeficientes (r_0,r_1,\dots,r_n)\in\mathbb{Q}^{\,n+1}.
Para cada n o conjunto \mathbb{Q}^{\,n+1} é contável (produto finito de conjuntos contáveis é contável).
\mathcal{P}_{\mathbb{Q}}=\bigcup_{n=0}^{\infty}\mathbb{Q}^{\,n+1} é união contável de conjuntos contáveis, logo é contável.
Conclusão: \mathcal{P}_{\mathbb{Q}} é um conjunto contável.
(Dica prática: imaginar enumerar polinômios por grau e, dentro de cada grau, enumerar as tuplas racionais; no fim teremos uma enumeração completa.)
Passo 4
Mostrar que \mathcal{P}_{\mathbb{Q}} é denso usando Weierstrass e aproximação dos coeficientes por racionais.
Objetivo técnico: dado f\in C[0,1] e \varepsilon>0, construir q\in\mathcal{P}_{\mathbb{Q}} com \|f-q\|_{\infty}<\varepsilon.
Procedimento em duas etapas:
Aproximar f por um polinômio p com coeficientes reais (usar Weierstrass).
Aproximar p por um polinômio q com coeficientes racionais, controlando a norma do supremo.
Passo 5
Detalhar a etapa 1 (usar Weierstrass) e escolher tolerâncias.
Pelo Teorema de Weierstrass, existe um polinômio p(x)=a_0+a_1 x+\cdots+a_N x^N (coeficientes a_k\in\mathbb{R}) tal que
\|f-p\|_{\infty}<\frac{\varepsilon}{2}.
Agora precisamos aproximar p por um polinômio com coeficientes racionais até erro inferior a \varepsilon/2 (isso permitirá usar a desigualdade triangular depois).
Passo 6
Detalhar a etapa 2 (aproximar coeficientes reais por racionais e estimar o erro uniforme).
Considere p(x)=\sum_{k=0}^{N} a_k x^k. Vamos escolher racionais r_k\in\mathbb{Q} tais que cada diferença |a_k-r_k| seja pequena. Uma forma simples: escolher r_k com
Uma escolha prática: tomar todos \delta_k=\frac{\varepsilon}{2(N+1)} e então escolher r_k\in\mathbb{Q} com |a_k-r_k|<\delta_k (isto é possível porque os racionais são densos nos reais). Com isso
Assim dado qualquer f\in C[0,1] e qualquer \varepsilon>0 encontramos q\in\mathcal{P}_{\mathbb{Q}} com \|f-q\|_{\infty}<\varepsilon. Isso mostra que \mathcal{P}_{\mathbb{Q}} é denso em (C[0,1],\|\cdot\|_{\infty}).
Já provamos que \mathcal{P}_{\mathbb{Q}} é contável. Portanto existe um subconjunto contável e denso de C[0,1]; isto é exatamente a definição de separável.
Resposta
O conjunto dos polinômios com coeficientes racionais \mathcal{P}_{\mathbb{Q}} é contável e denso em (C[0,1],\|\cdot\|_{\infty}); portanto C[0,1] é separável.