Suponha que a MTF do sistema seja modelada pela função
\operatorname{MTF}(u)= \begin{cases}1-\left(\frac{u}{u_{c}}\right)^{2}, & |u| \leq u_{c}, \\\\ 0, & |u|>u_{c},\end{cases}
em que u_{c} é a frequência espacial de corte (em \mathrm{mm}^{-1} ). Se uma medida experimental fornece \operatorname{MTF}\left(u=20 \mathrm{~mm}^{-1}\right)=0,50, determine u_{c}. 28,28 \mathrm{~mm}^{-1}

Passo 1

O enunciado nos dá a função de transferência de modulação (MTF) do sistema:
\operatorname{MTF}(u)= \begin{cases}1-\left(\dfrac{u}{u_{c}}\right)^{2}, & |u| \leq u_{c}, \\[6pt] 0, & |u|>u_{c},\end{cases}
e fornece a medida experimental \operatorname{MTF}\bigl(u=20\\ \mathrm{mm}^{-1}\bigr)=0,50. A pergunta é: determine u_{c} (em \mathrm{mm}^{-1}).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A expressão da MTF quando |u|\le u_c é \displaystyle 1-\left(\dfrac{u}{u_c}\right)^2.
  • Foi medida \operatorname{MTF}(20)=0,50.
  • Como a MTF medida é diferente de zero, isso implica que 20\le u_c (caso contrário \operatorname{MTF}(20) seria 0). Portanto podemos usar a forma 1-(u/u_c)^2.]

Passo 2

Colocar a medida na expressão da MTF e escrever a equação que vamos resolver. Substituímos u=20 e \operatorname{MTF}=0,50 na fórmula válida para |u|\le u_c:
0,50 = 1 - \left(\dfrac{20}{u_c}\right)^2.

Passo 3

Isolar o termo quadrático. Subtraindo 1 de ambos os lados e multiplicando por -1:
\left(\dfrac{20}{u_c}\right)^2 = 1 - 0,50 = 0,50.

Passo 4

Passar da igualdade de quadrados para a raiz. Tomamos raiz quadrada em ambos os lados sabendo que u_c>0, então usamos a raiz positiva:
\dfrac{20}{u_c} = \sqrt{0,50}.
Portanto
u_c = \dfrac{20}{\sqrt{0,50}}.
Explicando o passo da raiz de forma didática: quando temos \left(\dfrac{20}{u_c}\right)^2=a com a>0, então \dfrac{20}{u_c}=\pm\sqrt{a}. Mas u_c é uma frequência de corte positiva, e 20/u_c é positivo, logo escolhemos o sinal positivo.

Passo 5

Simplificar numericamente. Note que \sqrt{0,50}=\sqrt{\tfrac{1}{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}. Assim
u_c = \dfrac{20}{1/\sqrt{2}} = 20\sqrt{2}.
Calculando numericamente (fácil de fazer na prova usando aproximação \sqrt{2}\approx1,4142):
u_c = 20\times 1,4142\approx 28,284\ldots
Arredondando com duas casas decimais (conforme a resposta fornecida):
u_c \approx 28,28\\ \mathrm{mm}^{-1}.

Resposta

u_{c}=20\sqrt{2}\\ \mathrm{mm}^{-1}\approx 28,28\\ \mathrm{mm}^{-1}

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