Se u e v são vetores, prove que a função f(x)=|u+x v|^2 possui um ponto de mínimo.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dada a função
f(x)=|u+x,v|^2,
onde u e v são vetores em um espaço com produto interno, existe algum xinR que minimiza f. O conteúdo usado será: expansão de norma ao quadrado e análise de função quadrática em uma variável.

Passo 2

Primeiro expressamos f(x) em termos do produto interno:
f(x)=|u+x,v|^2=lang<= u+x,v,;u+x,vrang<=
Ao expandir, obtemos
f(x)=lang<= u,urang<=+2x,lang<= u,vrang<=+x^2,lang<= v,vrang<= =|u|^2+2,lang<= u,vrang<=,x+|v|^2,x^2

Passo 3

Agora vemos que f(x) é uma função quadrática em x da forma
f(x)=a,x^2+b,x+c,
onde
a=|v|^2, b=2,lang<= u,vrang<=, c=|u|^2
Se vneq0, então a>0 e a parábola abre para cima, tendo um único ponto crítico que é mínimo. Para encontrá-lo, calculamos a derivada e igualamos a zero:
f'(x)=2,a,x+b =2,|v|^2,x+2,lang<= u,vrang<==0 Longrightarrow x0=-lang<= u,vrang<=|v|^2

Passo 4

Como a=|v|^2>0, temos também
f''(x)=2,|v|^2>0,
o que garante que x0 é ponto de mínimo global. No caso especial v=0, a função vira
f(x)=|u|^2,
constante, logo qualquer x é ponto de mínimo.

Resposta

Se vneq0, o mínimo de f ocorre em
x0=-lang<= u,vrang<=|v|^2
Se v=0, então f(x)=|u|^2 é constante e todo xinR é ponto de mínimo.

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