Se
e
são vetores, prove que a função
possui um ponto de mínimo.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dada a função
onde
e
são vetores em um espaço com produto interno, existe algum
que minimiza
. O conteúdo usado será: expansão de norma ao quadrado e análise de função quadrática em uma variável.
Passo 2
Primeiro expressamos
em termos do produto interno:
Ao expandir, obtemos
Passo 3
Agora vemos que
é uma função quadrática em
da forma
onde
Se
, então
e a parábola abre para cima, tendo um único ponto crítico que é mínimo. Para encontrá-lo, calculamos a derivada e igualamos a zero:
Passo 4
Como
, temos também
o que garante que
é ponto de mínimo global. No caso especial
, a função vira
constante, logo qualquer
é ponto de mínimo.
Resposta
Se
, o mínimo de
ocorre em
Se
, então
é constante e todo
é ponto de mínimo.