P 1.3. Discuta a existência de solução dos seguintes sistemas de equações lineares, em termos dos parâmetros reais alpha e beta :
ccc2 x+4 y+3 z & = & 10 2 x+7 y-2 z & = & 10 x+5 y+alpha z & = & beta

Passo 1

O enunciado nos pede para discutir quando o sistema
2x+4y+3z=10, 2x+7y-2z=10, x+5y+alpha z=beta
tem solução, em função dos parâmetros reais alpha e beta. O conteúdo envolvido é teoria de sistemas lineares: usamos determinante da matriz de coeficientes para saber quando existe solução única, e no caso singular analisamos a consistência do sistema aumentado.

Passo 2

Calculemos o determinante da matriz de coeficientes
A= 2 & 4 & 3 2 & 7 & -2 1 & 5 & alpha
Usando expansão de Laplace na primeira linha:
det A =27 & -25 & alpha -42 & -21 & alpha +32 & 71 & 5 =2(7alpha+10)-4(2alpha+2)+3(10-7),
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det A=14alpha+20-8alpha-8+9=6alpha+21=3(2alpha+7)

Passo 3

Se det Aneq0, isto é, 2alpha+7neq0 (ou alphaneq-7/2), então o sistema tem solução única para qualquer valor de beta.

Passo 4

Agora suponha alpha=-7/2. Então det A=0 e a matriz de coeficientes é singular. Para haver solução, a terceira equação deve ser combinação linear das duas primeiras, inclusive no lado direito. Escrevamos
lambda1(2x+4y+3z)+lambda2(2x+7y-2z) equiv x+5y-tfrac72z
e imponhamos também
10lambda1+10lambda2=beta

Passo 5

Das equações de coeficientes em x,y,z temos
2lambda1+2lambda2=1, 4lambda1+7lambda2=5, 3lambda1-2lambda2=-tfrac72
As duas primeiras dão lambda1=-tfrac12, lambda2=1, e checam a terceira. Então no termo independente
beta=10(lambda1+lambda2)=10l(-tfrac12+1r)=5
Portanto, quando alpha=-tfrac72 o sistema é compatível somente se beta=5; nesse caso há infinitas soluções; se betaneq5, não há solução alguma.

Resposta

Para alphaneq-tfrac72: existe solução única para todo beta.
Para alpha=-tfrac72 e beta=5: infinitas soluções.
Para alpha=-tfrac72 e betaneq5: sistema incompatível (sem solução).

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