Exercício 11 O sistema linear
\left\{\begin{array}{c} -2 x_{1}+3 x_{2}+4 x_{3}-5 x_{4}=1 \\\\ -x_{1}-6 x_{3}+3 x_{4}=0 \\\\ 2 x_{1}+4 x_{2}-3 x_{3}+2 x_{4}=-2 \\\\ -x_{1}-2 x_{2}+6 x_{3}-3 x_{4}=-1 \end{array}\right.
possui solução única?

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema linear de quatro equações e quatro incógnitas. Para saber se ele possui solução única, basta verificar se a matriz de coeficientes tem determinante diferente de zero. Vamos usar eliminação de Gauss para triangularizar a matriz e calcular o determinante como o produto dos pivôs.

Passo 2

Escrevemos a matriz de coeficientes A:
A = \begin{pmatrix} -2 & 3 & 4 & -5 \\\\ -1 & 0 & -6 & 3 \\\\ 2 & 4 & -3 & 2 \\\\ -1 & -2 & 6 & -3 \end{pmatrix}.
Aplicamos operações de linha para zerar abaixo de a_{11}=-2:
\begin{aligned} L_2 &\leftarrow L_2 - \tfrac12\,L_1 &\implies&\\ (0,\,-1{,}5,\,-8,\\\ 5{,}5),\\\ L_3 &\leftarrow L_3 + L_1 &\implies&\\ (0,\\\ 7,\\\ 1,\,-3),\\\ L_4 &\leftarrow L_4 - \tfrac12\,L_1 &\implies&\\ (0,\,-3{,}5,\\\ 4,\,-0{,}5). \end{aligned}

Passo 3

Agora triangularizamos abaixo de a_{22}=-1{,}5:
\begin{aligned} L_3 &\leftarrow L_3 - \tfrac{7}{-1{,}5}\,L_2 &\implies&\\ (0,0,\,-\tfrac{109}{3},\\ \tfrac{68}{3}),\\\ L_4 &\leftarrow L_4 - \tfrac{-3{,}5}{-1{,}5}\,L_2 &\implies&\\ (0,0,\\ \tfrac{68}{3},\,-\tfrac{40}{3}). \end{aligned}

Passo 4

Por fim, eliminamos abaixo de a_{33}=-\tfrac{109}{3}:
L_4 \leftarrow L_4 - \frac{\tfrac{68}{3}}{-\tfrac{109}{3}}\;L_3 \;\implies\;(0,0,0,\;\tfrac{88}{109}).
A forma triangular de A tem, na diagonal, os pivôs
-2,\quad -1{,}5,\quad -\tfrac{109}{3},\quad \tfrac{88}{109},
portanto
\det(A) = (-2)\times(-1{,}5)\times\Bigl(-\tfrac{109}{3}\Bigr)\times\tfrac{88}{109} = -88\neq0.

Resposta

Sim. Como \det(A)\neq0, o sistema possui solução única.

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