Exercício 4 (D.L.5.28)
Dado o sistema não-linear
c x1^prime=2 x1 z+x2 x2^prime=-x1+2 z^2 z^prime=-x1^2-z x2
em R^3, mostre que todas as suas soluções estão definidas em toda reta real e verifique se a solução pela origem é de equilíbrio estável ou assintoticamente estável.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema não-linear em R^3
x1' &= 2,x1z + x2, x2' &= -,x1 + 2,z^2, z' &= -,x1^2 - z,x2,
e pede (i) mostrar que todas as soluções existem em todo R (não explodem em tempo finito) e (ii) verificar se o equilíbrio na origem é estável ou assintoticamente estável. Para isso, vamos procurar uma função de Lyapunov (ou integral de primeira-integral) que permita controlar o tamanho de (x1,x2,z).

Passo 2

Definimos
V(x1,x2,z) = x1^2 + x2^2 + 2,z^2
Calculamos sua derivada ao longo das soluções:
dVdt = 2,x1x1' + 2,x2x2' + 4,z,z'
Substituindo x1',x2',z':
dVdt =2,x1(2x1z+x2) +2,x2(-x1+2z^2) +4,z(-x1^2-z,x2)
Agrupando termos semelhantes, todos se cancelam, de modo que
dVdt = 0
Portanto V é constante ao longo de cada solução.

Passo 3

Como Vequivconstante, as trajetórias ficam confinadas às variedades compactas V = c, que são esferas centradas na origem. Logo, |(x1(t),x2(t),z(t))| permanece limitada para todo t. Pelo teorema de existência e unicidade, uma solução só explodiria se deixasse qualquer compacto em tempo finito, o que não ocorre. Concluímos que todas as soluções estão definidas para todo tinR.

Passo 4

A função V satisfaz V(0,0,0)=0 e V>0 fora da origem, com dot V=0. Isso implica estabilidade em Lyapunov do equilíbrio (0,0,0). Porém, como dot V não é estritamente negativa, não há decaimento de V ao longo do tempo, ou seja, as trajetórias não convergem para a origem, só permanecem em uma esfera fixa. Portanto, o equilíbrio é estável, mas não assintoticamente estável.

Resposta

Todas as soluções existem para todo tinR. O equilíbrio na origem é estável (em Lyapunov) e não é assintoticamente estável.

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