em R^3, mostre que todas as suas soluções estão definidas em toda reta real e verifique se a solução pela origem é de equilíbrio estável ou assintoticamente estável.
e pede (i) mostrar que todas as soluções existem em todo R (não explodem em tempo finito) e (ii) verificar se o equilíbrio na origem é estável ou assintoticamente estável. Para isso, vamos procurar uma função de Lyapunov (ou integral de primeira-integral) que permita controlar o tamanho de (x1,x2,z).
Agrupando termos semelhantes, todos se cancelam, de modo que
dVdt = 0
Portanto V é constante ao longo de cada solução.
Passo 3
Como Vequivconstante, as trajetórias ficam confinadas às variedades compactas V = c, que são esferas centradas na origem. Logo, |(x1(t),x2(t),z(t))| permanece limitada para todo t. Pelo teorema de existência e unicidade, uma solução só explodiria se deixasse qualquer compacto em tempo finito, o que não ocorre. Concluímos que todas as soluções estão definidas para todo tinR.
Passo 4
A função V satisfaz V(0,0,0)=0 e V>0 fora da origem, com dot V=0. Isso implica estabilidade em Lyapunov do equilíbrio (0,0,0). Porém, como dot V não é estritamente negativa, não há decaimento de V ao longo do tempo, ou seja, as trajetórias não convergem para a origem, só permanecem em uma esfera fixa. Portanto, o equilíbrio é estável, mas não assintoticamente estável.
Resposta
Todas as soluções existem para todo tinR. O equilíbrio na origem é estável (em Lyapunov) e não é assintoticamente estável.