Exercício 2.5.1. Prove a Proposição 2.1.5, i.e., que
é um sub-espaço vetorial de
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado um espaço vetorial
sobre um corpo
e um subconjunto
, o conjunto
é um subespaço vetorial de
. Para isso, vamos usar a definição de subespaço: um subconjunto
é subespaço se e somente se
-
. -
. -
.
Passo 2
Mostrar que
.
Se , escolha qualquer
; então
Se
é uma combinação linear de um só vetor de
, logo
.
Se , convencionamos que a soma vazia é
, de modo que a combinação com
termos também produz
. Portanto em todo caso
.
Se
Passo 3
Fechamento em relação à soma.
Sejam . Então existem
Sejam
com
e
. Então
onde
é a sequência
e
os coeficientes correspondentes. Isso mostra que
é combinação linear de vetores de
, ou seja,
.
Passo 4
Fechamento em relação à multiplicação escalar.
Seja e
. Então
Seja
com
e
. Logo
que também é combinação linear de vetores de
. Portanto
.
Resposta
Como
contém
, é fechado sob soma e sob multiplicação escalar, concluímos que
é de fato um sub-espaço vetorial de
.