Exercício 2.5.1. Prove a Proposição 2.1.5, i.e., que L(A) é um sub-espaço vetorial de V.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado um espaço vetorial V sobre um corpo K e um subconjunto Asubseteq V, o conjunto
L(A) =l,vin Vmid v=alpha1a1+alpha2a2+cdots+alphan an,;nin N,;alphaiin K,;aiin Ar
é um subespaço vetorial de V. Para isso, vamos usar a definição de subespaço: um subconjunto Ssubseteq V é subespaço se e somente se
  1. 0in S.
  2. u,vin Simplies u+vin S.
  3. lambdain K,;uin Simplies lambda uin S.

Passo 2

Mostrar que 0in L(A).
Se Aneqvarnothing, escolha qualquer ain A; então
0=0cdot a
é uma combinação linear de um só vetor de A, logo 0in L(A).
Se A=varnothing, convencionamos que a soma vazia é 0, de modo que a combinação com n=0 termos também produz 0. Portanto em todo caso 0in L(A).

Passo 3

Fechamento em relação à soma.
Sejam u,vin L(A). Então existem
u=sumi=1^ralphai ai, v=sumj=1^sbetaj bj,
com alphai,betajin K e ai,bjin A. Então
u+v =sumi=1^ralphai ai +sumj=1^sbetaj bj =sumk=1^r+sgammak ck,
onde (c1,dots,cr+s) é a sequência (a1,dots,ar,b1,dots,bs) e gammak os coeficientes correspondentes. Isso mostra que u+v é combinação linear de vetores de A, ou seja, u+vin L(A).

Passo 4

Fechamento em relação à multiplicação escalar.
Seja lambdain K e uin L(A). Então
u=sumi=1^nalphai ai
com alphaiin K e aiin A. Logo
lambda u =lambdasumi=1^nalphai ai =sumi=1^n(lambdaalphai),ai,
que também é combinação linear de vetores de A. Portanto lambda uin L(A).

Resposta

Como L(A) contém 0, é fechado sob soma e sob multiplicação escalar, concluímos que L(A) é de fato um sub-espaço vetorial de V.

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