(Questão 03) [2,0 pontos] Sejam E=(e1, e2, e3) e F=(f1, f2, f3) bases tais que
f1=e1-3 e2, f2=e2+e3, f3=e1-2 e2
seja u=3 e1+4 e2-e3. Calcule as coordenadas de u na base F.

Passo 1

O enunciado dá duas bases de R^3:
E=(overrightarrow e1,overrightarrow e2,overrightarrow e3), F=(overrightarrow f1,overrightarrow f2,overrightarrow f3)
com
overrightarrow f1=overrightarrow e1-3overrightarrow e2, overrightarrow f2=overrightarrow e2+overrightarrow e3, overrightarrow f3=overrightarrow e1-2overrightarrow e2
e o vetor
vec u=3overrightarrow e1+4overrightarrow e2-1overrightarrow e3
Queremos encontrar as coordenadas de vec u na base F. O conteúdo aqui é mudança de base em R^3, que se reduz a resolver um sistema linear para os coeficientes na nova base.

Passo 2

Primeiro, escrevemos as coordenadas de overrightarrow fi no sistema padrão (base E):
overrightarrow f1=(1,-3,0), overrightarrow f2=(0,1,1), overrightarrow f3=(1,-2,0)
E também escrevemos vec u no padrão:
vec u=(3,4,-1)

Passo 3

Na base F, vamos supor
vec u = alpha,overrightarrow f1 + beta,overrightarrow f2 + gamma,overrightarrow f3
Em coordenadas de E, isto vira
alpha(1,-3,0) + beta(0,1,1) + gamma(1,-2,0) = (3,4,-1)

Passo 4

Equivalendo componente a componente obtemos o sistema
alpha + 0beta + gamma = 3, -3alpha + beta -2gamma = 4, 0alpha + beta + 0gamma = -1
Da terceira equação vem beta=-1. Substituindo nas duas primeiras:
alpha + gamma = 3, -3alpha -1 -2gamma = 4
A segunda passa a ser
-3alpha -2gamma = 5 Long<=ftrightarrow 3alpha +2gamma = -5

Passo 5

Resolvendo
alpha + gamma = 3 e 3alpha + 2gamma = -5,
subtraindo 2 vezes a primeira da segunda:
3alpha +2gamma -2(alpha+gamma)= -5 -2cdot3 Longrightarrow alphacdot(3-2)+gammacdot(2-2)=-11
logo alpha=-11. Então de alpha+gamma=3 segue gamma=14.

Resposta

As coordenadas de vec u na base F são
(-11,,-1,,14)

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