(Questão 03) [2,0 pontos] Sejam
e
F=(f1, f2, f3) bases tais que
f1=e1-3 e2, f2=e2+e3, f3=e1-2 e2
seja
u=3 e1+4 e2-e3 . Calcule as coordenadas de
u na base
F .
Passo 1
O enunciado dá duas bases de
R^3 :
com
e o vetor
Queremos encontrar as coordenadas de
vec u na base
F . O conteúdo aqui é mudança de base em
R^3 , que se reduz a resolver um sistema linear para os coeficientes na nova base.
Passo 2
Primeiro, escrevemos as coordenadas de
overrightarrow fi no sistema padrão (base
E ):
E também escrevemos
vec u no padrão:
Passo 3
Na base
F , vamos supor
Em coordenadas de
E , isto vira
Passo 4
Equivalendo componente a componente obtemos o sistema
Da terceira equação vem
beta=-1 . Substituindo nas duas primeiras:
A segunda passa a ser
Passo 5
Resolvendo
subtraindo
2 vezes a primeira da segunda:
logo
alpha=-11 . Então de
alpha+gamma=3 segue
gamma=14 .
Resposta
As coordenadas de
vec u na base
F são