Exercício 4. Psicólogos interessados em teoria de aprendizado estudam as chamadas curvas de aprendizado. Uma curva de aprendizado é o gráfico de uma função P(t), que representa o conhecimento adquirido por alguém aprendendo uma habilidade como uma função do tempo de treinamento t. Um modelo para o aprendizado é dado pela equação
\frac{d P}{d t}=k(M-P),
em que k e M são constantes positivas. A constante P_{0}=P(0) \leq M representa o conhecimento inicial do indivíduo.
(a) Resolva a equação diferencial para encontrar uma expressão para P(t).
(b) Qual é o limite da expressão encontrada em (a) quando t \rightarrow \infty ? Interprete o resultado obtido para concluir o que as constantes k e M representam.

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial
\frac{dP}{dt}=k\,(M-P)
com k>0, M>0 e condição inicial P(0)=P_0\le M. Esse modelo descreve a curva de aprendizado, ou seja, como o conhecimento P(t) evolui no tempo. Vamos resolver a EDO por separação de variáveis e depois calcular o limite quando t\to\infty.

Passo 2

Separamos as variáveis escrevendo
\frac{dP}{M-P}=k\,dt.
Agora integramos ambos os lados:
\int \frac{dP}{M-P} \;=\;\int k\,dt \;\Longrightarrow\; -\,\ln\bigl|M-P\bigr| = kt + C.

Passo 3

Elevando exponencialmente e incorporando a constante em uma só, obtemos
M - P = A\,e^{-\,kt},
onde A é constante. Como P(0)=P_0, temos
M - P_0 = A.
Logo
P(t) = M - (M - P_0)\,e^{-\,kt} = M + (P_0 - M)\,e^{-\,kt}.

Passo 4

Para t\to\infty, nota-se que e^{-\,kt}\to0. Assim,
\lim_{t\to\infty}P(t)=M.
Isto mostra que M é o nível máximo de conhecimento (assíntota) e que k é a taxa de aprendizado: quanto maior k, mais rápido P(t) se aproxima de M.

Resposta

(a) \displaystyle P(t) = M + (P_0 - M)\,e^{-\,kt}.
(b) \displaystyle \lim_{t\to\infty}P(t)=M, em que M é o conhecimento máximo assintótico e k determina a rapidez do aprendizado.

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