Podemos ter uma base de
formada por
polinômios de grau
? Justifique a sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede para saber se em
(espaço dos polinômios de grau
) podemos ter uma base formada por
polinômios de grau exatamente
. Este espaço tem dimensão
e, para ser base, o conjunto deve ter
elementos, ser linearmente independente e gerar todo o espaço.
Passo 2
Recordando a definição de base, não há nenhuma restrição de que cada vetor (polinômio) tenha grau diferente; o que importa é a independência linear e a geração do espaço. Assim, basta fabricar
polinômios de grau
que sejam independentes.
Passo 3
Começamos da base canônica
e adicionamos a cada polinômio de grau
um termo de grau
. Definimos então, para
,
e ainda
Cada
tem grau exatamente
.
Passo 4
Mostramos que
é linearmente independente. Suponha
Isso expande para
Igualando coeficientes de
para
obtemos
. Em seguida, o coeficiente de
dá
. Logo todos os
são zero, provando a independência.
Resposta
Sim, por exemplo
é uma base de
formada por
polinômios de grau
.