Podemos ter uma base de P_{n}(\mathbb{R}) formada por n+1 polinômios de grau n ? Justifique a sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede para saber se em \,P_n(\mathbb{R}) (espaço dos polinômios de grau \le n) podemos ter uma base formada por n+1 polinômios de grau exatamente n. Este espaço tem dimensão n+1 e, para ser base, o conjunto deve ter n+1 elementos, ser linearmente independente e gerar todo o espaço.

Passo 2

Recordando a definição de base, não há nenhuma restrição de que cada vetor (polinômio) tenha grau diferente; o que importa é a independência linear e a geração do espaço. Assim, basta fabricar n+1 polinômios de grau n que sejam independentes.

Passo 3

Começamos da base canônica \{1,x,x^2,\dots,x^n\} e adicionamos a cada polinômio de grau <n um termo de grau n. Definimos então, para k=0,1,\dots,n-1,
p_k(x)=x^n + x^k,
e ainda
p_n(x)=x^n.
Cada p_k tem grau exatamente n.

Passo 4

Mostramos que \{p_0,p_1,\dots,p_{n-1},p_n\} é linearmente independente. Suponha
\sum_{k=0}^n a_k\,p_k(x)=0.
Isso expande para
\Bigl(\sum_{k=0}^{n-1}a_k + a_n\Bigr)x^n \;+\;\sum_{k=0}^{n-1}a_k\,x^k \;=\;0.
Igualando coeficientes de x^k para k=0,1,\dots,n-1 obtemos a_k=0. Em seguida, o coeficiente de x^n \sum_{k=0}^{n-1}a_k + a_n=a_n=0. Logo todos os a_k são zero, provando a independência.

Resposta

Sim, por exemplo
\{\,x^n,\;x^n+1,\;x^n+x,\;\dots,\;x^n+x^{n-1}\}
é uma base de P_n(\mathbb{R}) formada por n+1 polinômios de grau n.

Exercícios relacionados