Usando diferenciais, calcule o valor aproximado para
Passo 1
O enunciado pede: aproximar o valor de
usando diferenciais. Informação útil fornecida / disponível imediatamente:
é o número que multiplicado por si mesmo dá
.
Conhecimentos exatos próximos que podemos usar sem cálculo: e
.
Nada mais foi pedido explicitamente — vamos usar essas informações para construir a aproximação.
Conhecimentos exatos próximos que podemos usar sem cálculo:
Nada mais foi pedido explicitamente — vamos usar essas informações para construir a aproximação.
Passo 2
O que são diferenciais e como eles ajudam a aproximar uma função?
Seja uma função diferenciável num ponto
. Uma mudança pequena em
, denotada por
, provoca uma mudança aproximada em
dada por
Seja uma função
A ideia prática (linearização) é que, para
próximo de
,
Aqui:
-
é a pequena variação de (por exemplo, ), -
é a variação linear aproximada de causada por , -
é a derivada de em , que mede a inclinação local da função.
Esse é o método de diferenciais (linearização): substituir
por sua reta tangente em
.
Passo 3
Escolha da função e do ponto
.
Queremos aproximar . Definimos
Queremos aproximar
Escolhemos um ponto
próximo de
cuja raiz conhecemos exatamente. Uma escolha natural é
, porque
e
está perto de
. Não é obrigatório escolher
, mas é conveniente para cálculo manual.
Passo 4
Calcular a derivada
(explicando passo a passo).
Usamos a regra da potência: se , então
. Aqui
, então
Usamos a regra da potência: se
Significado: em
o declive da reta tangente a
é
.
Passo 5
Aplicar a fórmula da diferencial em
.
Calculamos e
:
Calculamos
A variação
que leva de
a
é
Então a diferencial aproximada é
Aproximação linear (diferenciais):
Em decimal (vírgula usada conforme convenção):
.
Passo 6
(Mini-reforço: por que isso faz sentido e como avaliar o erro)
A aproximação pela diferencial é a reta tangente em . Para ver rapidamente se ficou razoável, podemos calcular a segunda derivada para obter uma ideia do sinal do erro:
A aproximação pela diferencial é a reta tangente em
Em
,
O termo de segunda ordem (usando fórmula de Taylor até a segunda ordem) seria aproximadamente
Somando essa correção à aproximação linear obtemos uma estimativa refinada:
que está mais perto do valor real
. Isso mostra que a aproximação linear (
) é razoável e a correção de segunda ordem melhora bastante.
Passo 7
Dicas rápidas para a prova (como aplicar esse método passo a passo):
- Identifique
adequada (aqui ). - Escolha
próximo do ponto de interesse e com valor exato fácil (aqui ). - Calcule
e . - Determine
. - Use
.
Se quiser maior precisão, calculee o termo de segunda ordem .