Usando diferenciais, calcule o valor aproximado para
\sqrt{3}

Passo 1

O enunciado pede: aproximar o valor de \sqrt{3} usando diferenciais. Informação útil fornecida / disponível imediatamente:
\sqrt{3} é o número que multiplicado por si mesmo dá 3.
Conhecimentos exatos próximos que podemos usar sem cálculo: \sqrt{1}=1 e \sqrt{4}=2.
Nada mais foi pedido explicitamente — vamos usar essas informações para construir a aproximação.

Passo 2

O que são diferenciais e como eles ajudam a aproximar uma função?
Seja uma função f(x) diferenciável num ponto a. Uma mudança pequena em x, denotada por dx, provoca uma mudança aproximada em f dada por
df = f'(a)\,dx.
A ideia prática (linearização) é que, para x próximo de a,
f(a+dx) \approx f(a) + df = f(a) + f'(a)\,dx.
Aqui:
  • dx é a pequena variação de x (por exemplo, dx = x-a),
  • df é a variação linear aproximada de f causada por dx,
  • f'(a) é a derivada de f em a, que mede a inclinação local da função.
Esse é o método de diferenciais (linearização): substituir f por sua reta tangente em a.

Passo 3

Escolha da função e do ponto a.
Queremos aproximar \sqrt{3}. Definimos
f(x)=\sqrt{x}=x^{1/2}.
Escolhemos um ponto a próximo de 3 cuja raiz conhecemos exatamente. Uma escolha natural é a=4, porque \sqrt{4}=2 e 3 está perto de 4. Não é obrigatório escolher 4, mas é conveniente para cálculo manual.

Passo 4

Calcular a derivada f'(x) (explicando passo a passo).
Usamos a regra da potência: se f(x)=x^{n}, então f'(x)=n x^{n-1}. Aqui n=\tfrac12, então
f'(x)=\tfrac12 x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Significado: em x o declive da reta tangente a f é \dfrac{1}{2\sqrt{x}}.

Passo 5

Aplicar a fórmula da diferencial em a=4.
Calculamos f(4) e f'(4):
f(4)=\sqrt{4}=2,
f'(4)=\frac{1}{2\sqrt{4}}=\frac{1}{2\cdot 2}=\frac{1}{4}.
A variação dx que leva de 4 a 3 é
dx = 3-4 = -1.
Então a diferencial aproximada é
df = f'(4)\,dx = \frac{1}{4}\cdot(-1) = -\frac{1}{4}.
Aproximação linear (diferenciais):
\sqrt{3}=f(3)=f(4+dx)\approx f(4)+df = 2 - \frac{1}{4} = \frac{7}{4}.
Em decimal (vírgula usada conforme convenção): \frac{7}{4}=1,75.

Passo 6

(Mini-reforço: por que isso faz sentido e como avaliar o erro)
A aproximação pela diferencial é a reta tangente em a. Para ver rapidamente se ficou razoável, podemos calcular a segunda derivada para obter uma ideia do sinal do erro:
f''(x) = -\frac{1}{4} x^{-3/2} = -\frac{1}{4x^{3/2}}.
Em x=4,
f''(4) = -\frac{1}{4\cdot 4^{3/2}} = -\frac{1}{32}.
O termo de segunda ordem (usando fórmula de Taylor até a segunda ordem) seria aproximadamente
\frac{f''(4)}{2} (dx)^2 = -\frac{1}{32}\cdot\frac{1}{2}\cdot 1 = -\frac{1}{64}\approx -0,015625.
Somando essa correção à aproximação linear obtemos uma estimativa refinada:
1,75 - 0,015625 = 1,734375,
que está mais perto do valor real \sqrt{3}\approx 1,73205. Isso mostra que a aproximação linear ( 1,75) é razoável e a correção de segunda ordem melhora bastante.

Passo 7

Dicas rápidas para a prova (como aplicar esse método passo a passo):
  1. Identifique f(x) adequada (aqui f(x)=\sqrt{x}).
  2. Escolha a próximo do ponto de interesse e com valor exato fácil (aqui a=4).
  3. Calcule f(a) e f'(a).
  4. Determine dx = x-a.
  5. Use f(a+dx)\approx f(a)+f'(a)\,dx.
    Se quiser maior precisão, calcule f''(a) e o termo de segunda ordem \dfrac{f''(a)}{2} (dx)^2.

Resposta

1,75

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