Exercício 3. (2,0 pts) Seja
N=10^{20}+10^{40}+10^{60}+\cdots+10^{200} .
Calcule o resto da divisão de N por 13 .

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o resto da divisão de N por 13.
Informações dadas:
N=10^{20}+10^{40}+10^{60}+\cdots+10^{200}.
Observação útil (contagem dos termos): os expoentes vão de 20 até 200 de 20 em 20, logo há 10 termos. Podemos escrever
N=\sum_{k=1}^{10} 10^{20k}.

Passo 2

Conceito básico que vamos usar (explicação didática): trabalhar com restos significa trabalhar em aritmética modular. Dizemos que a é congruente a b módulo m e escrevemos a\equiv b\pmod{m} quando a-b é múltiplo de m. Importante para manipular potências:
  • Se a\equiv b\pmod{m} então a\cdot c\equiv b\cdot c\pmod{m} (multiplicação preserva congruência).
  • Em particular, se conhecemos 10^r\pmod{13} para alguns r, podemos reduzir expoentes grandes usando a periodicidade das potências de 10 módulo 13.
Vamos descobrir essa periodicidade calculando potências pequenas de 10 módulo 13.

Passo 3

Calculemos as potências de 10 módulo 13 uma a uma (faço as contas e explico cada subtração):
10^1\equiv 10\pmod{13}.
10^2=100\equiv 100-7\cdot13=100-91=9\pmod{13},
10^3\equiv 10^2\cdot10\equiv 9\cdot10=90\equiv 90-6\cdot13=90-78=12\pmod{13},
10^4\equiv 12\cdot10=120\equiv 120-9\cdot13=120-117=3\pmod{13},
10^5\equiv 3\cdot10=30\equiv 30-2\cdot13=30-26=4\pmod{13},
10^6\equiv 4\cdot10=40\equiv 40-3\cdot13=40-39=1\pmod{13}.
Conclusão importante (aulasinha rápida): encontramos 10^6\equiv 1\pmod{13}. Isso significa que as potências de 10 repetem em ciclos de comprimento 6 (a ordem de 10 módulo 13 divide 6 — aqui é exatamente 6). Assim, para qualquer inteiro t,
10^{t+6}\equiv 10^t\pmod{13},
e podemos reduzir expoentes módulo 6.

Passo 4

Aplicando essa redução aos termos de N. Para cada k temos
10^{20k}\equiv 10^{20k \bmod 6}\pmod{13}.
Como 20\equiv 2\pmod{6}, temos 20k\equiv 2k\pmod{6}. Logo
10^{20k}\equiv 10^{2k\pmod{6}}\pmod{13}.
Usamos os valores já calculados:
10^0\equiv 1,\quad 10^2\equiv 9,\quad 10^4\equiv 3,\quad 10^6\equiv 1
(lembrando que expoentes equivalentes módulo 6 usam esses valores).
Vamos listar os 10 termos 10^{20k} reduzidos modulo 13 para k=1,\dots,10:
  • k=1:\;2k\equiv 2\Rightarrow 10^{20}\equiv 10^2\equiv 9.
  • k=2:\;2k\equiv 4\Rightarrow 10^{40}\equiv 10^4\equiv 3.
  • k=3:\;2k\equiv 6\equiv 0\Rightarrow 10^{60}\equiv 10^0\equiv 1.
  • k=4:\;2k\equiv 8\equiv 2\Rightarrow 10^{80}\equiv 9.
  • k=5:\;2k\equiv 10\equiv 4\Rightarrow 10^{100}\equiv 3.
  • k=6:\;2k\equiv 12\equiv 0\Rightarrow 10^{120}\equiv 1.
  • k=7:\;2k\equiv 14\equiv 2\Rightarrow 10^{140}\equiv 9.
  • k=8:\;2k\equiv 16\equiv 4\Rightarrow 10^{160}\equiv 3.
  • k=9:\;2k\equiv 18\equiv 0\Rightarrow 10^{180}\equiv 1.
  • k=10:\;2k\equiv 20\equiv 2\Rightarrow 10^{200}\equiv 9.
Note que o padrão 9,3,1 se repete a cada 3 termos porque 2k módulo 6 passa por 2,4,0,2,4,0,\dots.

Passo 5

Somamos os restos dos 10 termos:
três repetições completas de (9+3+1) mais o último termo 9:
\text{soma} = 3\cdot(9+3+1)+9 = 3\cdot 13 + 9 = 39+9=48.
Agora reduzimos 48 módulo 13:
48\equiv 48-3\cdot13=48-39=9\pmod{13}.
Portanto o resto da divisão de N por 13 é 9.

Resposta

9

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