Utilize o princípio da indução finita para provar as afirmações dadas.
(f) 1.1!+2.2!+\cdots+n . n!=(n+1)!-1, \forall n \in \mathbb{N}.

Passo 1

O enunciado pede para provar, por indução finita, que para todo n\in\mathbb{N} vale
1\cdot1!+2\cdot2!+\cdots+n\cdot n!=(n+1)!-1.
O conteúdo necessário é o princípio de indução matemática.

Passo 2

Base da indução: n=1. Calculamos os dois lados da igualdade:
1\cdot1!=1
e
2!-1=2-1=1.
Como os dois resultados coincidem, a fórmula vale para n=1.

Passo 3

Passo indutivo – hipótese de indução: suponha que, para um certo n\ge1, tenhamos
\sum_{k=1}^{n}k\cdot k!=(n+1)!-1.

Passo 4

Mostramos que então a fórmula vale para n+1. Começamos escrevendo
\sum_{k=1}^{n+1}k\cdot k' !=\sum_{k=1}^{n}k\cdot k!+\bigl((n+1)\cdot(n+1)!\bigr).
Pela hipótese de indução, isso é
(n+1)!-1+(n+1)\cdot(n+1)!.
Fatorando (n+1)!, obtemos
(n+1)!\bigl(1+(n+1)\bigr)-1=(n+1)!(n+2)-1=(n+2)!-1.
Portanto a fórmula é válida para n+1.

Resposta

Pelo princípio da indução finita, concluímos que
1\cdot1!+2\cdot2!+\cdots+n\cdot n!=(n+1)!-1
para todo n\in\mathbb{N}.

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