Utilize o princípio da indução finita para provar as afirmações dadas.
(f)
.
(f)
Passo 1
O enunciado pede para provar, por indução finita, que para todo
vale
O conteúdo necessário é o princípio de indução matemática.
Passo 2
Base da indução:
. Calculamos os dois lados da igualdade:
e
Como os dois resultados coincidem, a fórmula vale para
.
Passo 3
Passo indutivo – hipótese de indução: suponha que, para um certo
, tenhamos
Passo 4
Mostramos que então a fórmula vale para
. Começamos escrevendo
Pela hipótese de indução, isso é
Fatorando
, obtemos
Portanto a fórmula é válida para
.
Resposta
Pelo princípio da indução finita, concluímos que
para todo
.