Exercício 1.2.3. Quantos são os números naturais pares que se escrevem(na base 10) com três algarismos distintos?

Passo 1

O enunciado pede para contar todos os números naturais de três algarismos (daí o primeiro algarismo não pode ser zero) que sejam pares e tenham os três algarismos distintos. Para isso, vamos usar o princípio multiplicativo: escolher o algarismo das unidades (que determina a paridade) e depois os algarismos das centenas e dezenas sem repetir.

Passo 2

Contagem dos números que terminam em 0:
– Algarismo das unidades: c=0 (1 opção).
– Algarismo das centenas: a pode ser qualquer de 1,2,dots,9 (não pode ser zero), logo 9 opções.
– Algarismo das dezenas: b pode ser qualquer dígito diferente de a e de c=0, restam 10-2=8 opções.
Portanto, há
9 times 8 = 72
números terminados em zero.

Passo 3

Contagem dos números que terminam em um dos dígitos pares não nulos 2,4,6,8:
– Algarismo das unidades: cin2,4,6,8 (4 opções).
– Algarismo das centenas: a pode ser 1 a 9, mas não pode ser igual a c, restam 9-1=8 opções.
– Algarismo das dezenas: b pode ser qualquer dígito de 0 a 9 excluindo a e c, restam 10-2=8 opções.
Para cada escolha de c
8 times 8 = 64
números, e como c tem 4 opções, totalizam
4 times 64 = 256

Passo 4

Somando as duas contagens, obtemos
72 + 256 = 328

Resposta

O total de números naturais pares de três algarismos com dígitos distintos é 328.

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