Exemplo 1.1.14. Dado o conjunto A=1,2,3,4 contrua o conjunto das partes de A.

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto
A = 1,2,3,4
e pede para construir o conjunto das partes de A, ou seja, a coleção de todos os subconjuntos de A. O tema é “conjunto das partes” (power set) e vamos usar a definição de que toda coleção de subconjuntos de um conjunto qualquer forma seu conjunto das partes.

Passo 2

Pela teoria, se um conjunto tem n elementos, seu conjunto das partes tem 2^n elementos. Como lvert Arvert = 4, teremos
llvert P(A)rrvert = 2^4 = 16
Portanto, precisamos listar exatamente 16 subconjuntos de A.

Passo 3

Vamos organizar os subconjuntos por quantidade de elementos:
  • Cardinalidade zero: o único subconjunto é o vazio, emptyset.
  • Cardinalidade um: são as singletons
    1,2,3,4.

Passo 4

Continuando a listagem por cardinalidade:
  • Cardinalidade dois:
    1,2,1,3,1,4,2,3,2,4,3,4.

Passo 5

Faltam os subconjuntos de três e quatro elementos:
  • Cardinalidade três:
    1,2,3,1,2,4,1,3,4,2,3,4.
  • Cardinalidade quatro: apenas o próprio conjunto
    1,2,3,4.

Resposta

P(A)=emptyset,;1,2,3,4,1,2,1,3,1,4,2,3,2,4,3,4,1,2,3,1,2,4,1,3,4,2,3,4,1,2,3,4

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