Exercício 2.5.5. Em R^3 estabelecer se os vetores v1, v2, v3 são linearmente dependentes e escrever um deles como combinação linear dos outros dois, quando possível, em cada um dos casos seguintes:
v1=(4,2,2), v2=(5,0,1), v3=(2,1,1);

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os vetores
v1=(4,2,2), v2=(5,0,1) e v3=(2,1,1) em R^3 são linearmente dependentes. Se forem, devemos escrever um deles como combinação linear dos outros dois. Vamos usar a caracterização via determinante e, em seguida, encontrar a relação de dependência.

Passo 2

Em R^3, três vetores são independentes se, e somente se, o determinante da matriz que os tem como colunas for não nulo. Montamos a matriz
A = 4 & 5 & 2 2 & 0 & 1 2 & 1 & 1 ,
cujo colunas são v1,v2,v3.

Passo 3

Calculamos o determinante de A por expansão na primeira linha:
det(A) =4,(0cdot1 - 1cdot1) -5,(2cdot1 - 1cdot2) +2,(2cdot1 - 0cdot2) =4cdot(-1)-5cdot0+2cdot2 =-4+4 =0
Como det(A)=0, concluímos que v1,v2,v3 é um conjunto linearmente dependente.

Passo 4

Para achar a relação de dependência, buscamos escalares a,b,c, nem todos nulos, tais que
a,v1 + b,v2 + c,v3 = 0
Observando as coordenadas, nota-se facilmente que
v1 - 2,v3 = (4,2,2) - 2,(2,1,1) = (0,0,0)
Logo, essa combinação não trivial dá a relação
v1 = 2,v3

Resposta

Os vetores são linearmente dependentes e v1 = 2,v3.

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