Exercício 2.5.5. Em R^3 estabelecer se os vetores v1, v2, v3 são linearmente dependentes e escrever um deles como combinação linear dos outros dois, quando possível, em cada um dos casos seguintes:
v1=(2,-1,0), v2=(1,2,-1), v3=(-1,0,2).

Passo 1

O enunciado dá os vetores
v1=(2,-1,0), v2=(1,2,-1), v3=(-1,0,2) em R^3 e pede para verificar se eles são linearmente dependentes. Se forem, devemos expressar um deles como combinação linear dos outros dois. Para isso, vamos usar o teste da independência linear pelo sistema homogêneo
a1v1+a2v2+a3v3=0

Passo 2

Escrevendo componente a componente, obtemos o sistema
2a1 + a2 - a3 = 0, -,a1 + 2a2 + 0cdot a3 = 0, 0cdot a1 - a2 + 2a3 = 0

Passo 3

Da segunda equação tem-se
-,a1 + 2a2=0 Longrightarrow a1=2a2
Da terceira equação vem
-,a2 + 2a3=0 Longrightarrow a2=2a3
Logo
a1=2a2=2cdot(2a3)=4a3

Passo 4

Substituindo a1=4a3 e a2=2a3 na primeira equação:
2(4a3) + (2a3) - a3 = 0 Longrightarrow 8a3 + 2a3 - a3 = 9a3 =0 ;Longrightarrow;a3=0
Daí a2=2a3=0 e a1=4a3=0. Só existe a solução trivial (a1,a2,a3)=(0,0,0).

Resposta

Os vetores são linearmente independentes, logo não é possível escrever nenhum deles como combinação linear dos outros dois.

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