Exercício 2.5.4. Verificar que em R^4 os vetores v1=(1,0,0,1), v2=(2,0,1,1), v3=(1,0,1,0) são linearmente dependentes e escrever um deles como combinação linear dos outros dois.

Passo 1

O enunciado dá três vetores em R^4:
v1=(1,0,0,1), v2=(2,0,1,1), v3=(1,0,1,0)
e pede para verificar que eles são linearmente dependentes. Vamos usar a definição: v1,v2,v3 são linearmente dependentes se existem escalares alpha,beta,gamma, não todos nulos, tais que
alpha,v1+beta,v2+gamma,v3=0
Em seguida resolveremos esse sistema para achar uma relação não trivial e, daí, expressar um dos vetores como combinação dos outros dois.

Passo 2

Escrevendo a equação vetorial em coordenadas:
alpha1001 +beta2011 +gamma1010 =0000
Dessa igualdade extraímos o sistema de quatro equações:
alpha + 2beta + gamma = 0, 0 = 0, beta + gamma = 0, alpha + beta = 0

Passo 3

Vamos resolver o sistema:
  1. Da terceira equação beta+gamma=0 vem gamma=-beta.
  2. Da quarta equação alpha+beta=0 vem alpha=-beta.
  3. Substituindo alpha=-beta e gamma=-beta na primeira equação:
(-beta)+2beta+(-beta)=0Longrightarrow0=0,
que é sempre verdade. Logo há infinitas soluções, por exemplo tomando beta=1 obtemos
alpha=-1, beta=1, gamma=-1
e portanto
-1,v1+1,v2-1,v3=0

Passo 4

Reescrevendo a relação acima,
v2 = v1 + v3
Isso mostra que não só existe uma combinação não trivial que zera os vetores (logo são linearmente dependentes) como também expressa v2 em termos de v1 e v3.

Resposta

v2 = v1 + v3, logo os três vetores são linearmente dependentes.

Exercícios relacionados