Exercício 2.5.4. Verificar que em os vetores são linearmente dependentes e escrever um deles como combinação linear dos outros dois.
Passo 1
O enunciado dá três vetores em :
e pede para verificar que eles são linearmente dependentes. Vamos usar a definição: são linearmente dependentes se existem escalares , não todos nulos, tais que
Em seguida resolveremos esse sistema para achar uma relação não trivial e, daí, expressar um dos vetores como combinação dos outros dois.
Passo 2
Escrevendo a equação vetorial em coordenadas:
Dessa igualdade extraímos o sistema de quatro equações:
Substituindo alpha=-beta e gamma=-beta na primeira equação:
(-beta)+2beta+(-beta)=0Longrightarrow0=0,
que é sempre verdade. Logo há infinitas soluções, por exemplo tomando beta=1 obtemos
alpha=-1, beta=1, gamma=-1
e portanto
-1,v1+1,v2-1,v3=0
Passo 4
Reescrevendo a relação acima,
v2 = v1 + v3
Isso mostra que não só existe uma combinação não trivial que zera os vetores (logo são linearmente dependentes) como também expressa v2 em termos de v1 e v3.
Resposta
v2 = v1 + v3, logo os três vetores são linearmente dependentes.