Exercício 2.5.5. Em R^3 estabelecer se os vetores v1, v2, v3 são linearmente dependentes e escrever um deles como combinação linear dos outros dois, quando possível, em cada um dos casos seguintes:
v1=(1,-2,-1), v2=(5,0,1), v3=(2,1,1);

Passo 1

O enunciado nos dá três vetores em R^3:
v1=(1,-2,-1), v2=(5,0,1) e v3=(2,1,1).
Pede-se verificar se eles são linearmente dependentes e, em caso afirmativo, escrever um deles como combinação linear dos outros dois.
O conteúdo utilizado será o critério de dependência linear em R^3 via determinante da matriz cujas colunas são esses vetores.

Passo 2

Formamos a matriz que tem v1,v2,v3 como colunas:
A = 1 & 5 & 2 -2 & 0 & 1 -1 & 1 & 1
Em R^3, se det(A)=0 então os vetores são linearmente dependentes.

Passo 3

Calculamos o determinante:
det(A) =1cdot(0cdot1 - 1cdot1) -5cdotl((-2)cdot1 - 1cdot(-1)r) +2cdotl((-2)cdot1 - 0cdot(-1)r)
=1cdot(-1)-5cdot(-1)+2cdot(-2) =-1+5-4=0
Como det(A)=0, concluímos que v1,v2,v3 são linearmente dependentes.

Passo 4

Para encontrar a combinação, supomos
v3 = alpha,v1 + beta,v2
e igualamos coordenadas, obtendo o sistema
alphacdot1 + betacdot5 = 2, alphacdot(-2) + betacdot0 = 1, alphacdot(-1) + betacdot1 = 1
Da segunda equação vem alpha=-tfrac12.
Substituindo na primeira:
-tfrac12 + 5beta = 2 ;Longrightarrow; 5beta = tfrac52 ;Longrightarrow; beta = tfrac12
A terceira equação confirma:
-(-tfrac12)+tfrac12 = tfrac12+tfrac12 =1.

Passo 5

Logo
v3 = -tfrac12,v1 + tfrac12,v2
Podemos multiplicar ambos os lados por 2 e escrever também
2,v3 = -,v1 + v2 ou v1 = v2 - 2,v3

Resposta

Os vetores são linearmente dependentes e, por exemplo,
v3 = -tfrac12,v1 + tfrac12,v2

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