Exercício 9 - A reação A + B \rightarrow P é processada, a 25^{\circ} \mathrm{C} e 1,0 \mathrm{~atm}, com grande excesso de B. Deseja-se produzir 25,0 \mathrm{~kg} / \mathrm{h} de A, a constante da velocidade é igual a 0,0583 \mathrm{~min}^{-1}, a concentração inicial de de A é 200 \mathrm{~g} / \mathrm{l}. Determine o volume do reator CSTR ideal para obter uma conversaõ de 90 \%.
Dados: \mathrm{MM}_{\mathrm{A}}=86,0 \mathrm{gmol}, \mathrm{MM}_{\mathrm{B}}=18,0 \mathrm{gmol} \mathrm{e}_{\mathrm{MM}_{\mathrm{C}}}=60,0 \mathrm{gmol}

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar o volume do reator CSTR ideal necessário para obter uma conversão de 90\% (ou seja, X=0{,}90).
Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
\begin{aligned} &\text{Reação: } A + B \rightarrow C\\ (\text{ou }P),\\\ &\text{Grande excesso de }B,\\\ &k = 0{,}0583\\ \mathrm{min^{-1}},\\\ &\text{concentração inicial de }A:\\ C_{A0}=200\\ \mathrm{g/L},\\\ &\text{produção desejada de produto: }25{,}0\\ \mathrm{kg/h},\\\ &\mathrm{MM}_A=86{,}0\\ \mathrm{g/mol},\\ \mathrm{MM}_B=18{,}0\\ \mathrm{g/mol},\\ \mathrm{MM}_C=60{,}0\\ \mathrm{g/mol}.
O que vou entregar no final: o volume do CSTR (em litros e em metros cúbicos) que garanta X=0{,}90.

Passo 2

Entendendo a física/química e a equação de projeto do CSTR (aula rápida):
  • Como há grande excesso de B, a velocidade efetiva da reação é de primeira ordem em A (reação pseudo-1ª ordem). Então a taxa volumétrica de consumo de A é
r_A = -k C_A,
onde r_A tem unidade \mathrm{mol\cdot L^{-1}\cdot min^{-1}}, k é a constante aparente \mathrm{min^{-1}} e C_A é a concentração de A em \mathrm{mol/L}.
  • Balanço de matéria em regime estacionário para um CSTR (volume V, vazão volumétrica q, fluxos molares F_{A0} e F_A):
F_{A0} - F_A + r_A V = 0.
Aqui F_{A0}=q C_{A0} e F_A=q C_A.
  • Definição de conversão:
X = 1 - \frac{C_A}{C_{A0}}.
Logo C_A = C_{A0}(1-X) e F_A = F_{A0}(1-X).
  • Substituindo r_A=-kC_A e as expressões de F no balanço obtemos:
F_{A0} - F_{A0}(1-X) - k C_A V = 0.
Como C_A = C_{A0}(1-X) e F_{A0}=qC_{A0}, isso simplifica (fazendo a álgebra) para a forma clássica do CSTR para 1ª ordem:
\tau \equiv \frac{V}{q} = \frac{X}{k(1-X)}.
Essa fórmula significa: o tempo de residência necessário \tau depende só de X e k para reação de 1ª ordem em CSTR. Depois V=q\tau. Todas as variáveis já foram definidas:
  • V: volume do reator ( \mathrm{L}),
  • q: vazão volumétrica ( \mathrm{L/min}),
  • \tau: tempo de residência ( \mathrm{min}),
  • X: conversão (adimensional),
  • k: constante (aqui \mathrm{min^{-1}}).

Passo 3

Converter a taxa de produção desejada de massa para molar e para unidades de tempo compatíveis:
Produção desejada de C: 25{,}0\\ \mathrm{kg/h}=25{,}000\\ \mathrm{g/h}. Como \mathrm{MM}_C=60{,}0\\ \mathrm{g/mol},
\dot{n}_C = \frac{25{,}000\\ \mathrm{g/h}}{60{,}0\\ \mathrm{g/mol}} = 416{,}666\\ \mathrm{mol/h}.
Passando para \mathrm{mol/min} (dividir por 60):
\dot{n}_C = \frac{416{,}666}{60} = 6{,}94444\\ \mathrm{mol/min}.
Como a estequiometria é 1:1, a taxa molar de produção de C é igual à taxa molar de reação de A consumido; portanto os mols de A consumidos por minuto são 6{,}94444\\ \mathrm{mol/min}.

Passo 4

Relacionar a produção com a vazão molar de alimentação de A:
Se F_{A0} é o fluxo molar de entrada de A ( \mathrm{mol/min}), a fração que reage é X, então a taxa molar reagida é X F_{A0}. Como essa taxa reagida tem que igualar a produção de C,
X F_{A0} = \dot{n}_C \quad\Rightarrow\quad F_{A0} = \frac{\dot{n}_C}{X}.
Numericamente,
F_{A0} = \frac{6{,}94444}{0{,}90} = 7{,}71605\\ \mathrm{mol/min}.

Passo 5

Calcular a concentração inicial de A em \mathrm{mol/L}: dado C_{A0}=200\\ \mathrm{g/L} e \mathrm{MM}_A=86{,}0\\ \mathrm{g/mol},
C_{A0} = \frac{200}{86{,}0} = 2{,}32558\\ \mathrm{mol/L}.

Passo 6

Determinar a vazão volumétrica q (em \mathrm{L/min}) a partir de F_{A0}=q C_{A0}:
q = \frac{F_{A0}}{C_{A0}} = \frac{7{,}71605}{2{,}32558} = 3{,}31863\\ \mathrm{L/min}.

Passo 7

Calcular o tempo de residência necessário \tau usando a fórmula do Passo 2:
\tau = \frac{X}{k(1-X)} = \frac{0{,}90}{0{,}0583\cdot(1-0{,}90)} = \frac{0{,}90}{0{,}0583\cdot 0{,}10} = \frac{0{,}90}{0{,}00583} = 154{,}38\\ \mathrm{min}.

Passo 8

Calcular o volume V = q \tau:
V = 3{,}31863\\ \mathrm{L/min}\times 154{,}38\\ \mathrm{min} = 512{,}01\\ \mathrm{L}.
Converter para metros cúbicos:
V = 512{,}01\\ \mathrm{L} = 0{,}51201\\ \mathrm{m^3}.

Passo 9

Verificação rápida de consistência: unidades compatíveis ( q em \mathrm{L/min}, \tau em \mathrm{min} V em \mathrm{L}). A ordem de grandeza ( \sim centenas de litros) é esperada para produção de algumas dezenas de mols por minuto com conversão alta e constante de ordem 10^{-2}\\ \mathrm{min^{-1}}. Força: os cálculos foram feitos sem aproximações grosseiras.

Resposta

V = 512{,}0\\ \mathrm{L}
V \approx 0{,}512\\ \mathrm{m^{3}}

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