Exercício 6 - A reação \mathrm{A}_{())} \rightleftharpoons \mathrm{P}_{(q)} é processada num reator CSTR ideal de 2,0 \mathrm{~m}^{3}, alimentado com 100,0 \mathrm{mmol} de \mathrm{A} / litro numa vazão de 100,0 litros / \mathrm{min}. A equação da taxa de reação é \left(-r_{A}\right)=0,04 C_{A}-0,01 C_{P} em [mol/l.min].
Determine:
a) A conversão de equilíbrio.
b) A conversão no reator.

Passo 1

O enunciado dá uma reação reversível \mathrm{A} \rightleftharpoons \mathrm{P} processada num CSTR ideal com volume V e alimentação com apenas \mathrm{A}. As informações fornecidas e o que se pede são:
  • Volume do reator: V=2{,}0\\ \mathrm{m}^{3}. Vou converter para litros porque as concentrações e vazões estão em litros: V=2000\\ \mathrm{L}.
  • Vazão volumétrica de alimentação: F=100{,}0\\ \mathrm{L/min}.
  • Concentração de alimentação de \mathrm{A}: C_{A0}=100{,}0\\ \mathrm{mmol/L}. Converter para \mathrm{mol/L}: C_{A0}=0{,}100\\ \mathrm{mol/L}.
  • Concentração de alimentação de \mathrm{P}: o enunciado não diz, então assumimos C_{P0}=0 (alimentação só com \mathrm{A}).
  • Equação da taxa (unidade \mathrm{mol/L.min}):
(-r_{A})=0{,}04\,C_{A}-0{,}01\,C_{P}.
  • Pedidos:
    a) determinar a conversão de equilíbrio;
    b) determinar a conversão no reator CSTR em regime estacionário.
Observação: a conversão X será definida como a fração de \mathrm{A} convertido em relação à alimentação:
X=\frac{C_{A0}-C_{A}}{C_{A0}}.

Passo 2

Entendendo o equilíbrio e como usá-lo aqui (aula rápida):
  • Em equilíbrio químico o termo de taxa líquida é zero, porque a velocidade direta e a inversa se igualam. Portanto impomos (-r_{A})=0.
  • A reação tem estebilidade estequiométrica simples ( 1 mol de \mathrm{A} forma 1 mol de \mathrm{P}), então, para um sistema fechado (batch) sem fluxo, as concentrações no equilíbrio obedecem à relação estequiométrica entre variação de \mathrm{A} e formação de \mathrm{P}.
Aplicando o equilíbrio à expressão da taxa:
0=0{,}04\,C_{A,\mathrm{eq}}-0{,}01\,C_{P,\mathrm{eq}}.
Isolando C_{P,\mathrm{eq}}:
C_{P,\mathrm{eq}}=\frac{0{,}04}{0{,}01}\,C_{A,\mathrm{eq}}=4\,C_{A,\mathrm{eq}}.

Passo 3

Ligando isso à estequiometria (aula sobre estequiometria simples):
  • Em um sistema fechado iniciado com C_{A0} e C_{P0}=0, ao ocorrer reação até o equilíbrio com extensão \xi (em \mathrm{mol/L}), temos
C_{A,\mathrm{eq}}=C_{A0}-\xi,\qquad C_{P,\mathrm{eq}}=\xi.
Assim podemos relacionar C_{P,\mathrm{eq}} e C_{A,\mathrm{eq}}:
C_{P,\mathrm{eq}}=C_{A0}-C_{A,\mathrm{eq}}.
Substituindo na relação de equilíbrio obtida no passo anterior:
C_{A0}-C_{A,\mathrm{eq}}=4\,C_{A,\mathrm{eq}}.
Logo:
C_{A0}=5\,C_{A,\mathrm{eq}}.

Passo 4

Resolve-se para C_{A,\mathrm{eq}} e a conversão de equilíbrio (aula de cálculo de conversão):
  • Da última equação:
C_{A,\mathrm{eq}}=\frac{1}{5}\,C_{A0}.
  • A conversão de equilíbrio \,X_{\mathrm{eq}}\, é:
X_{\mathrm{eq}}=\frac{C_{A0}-C_{A,\mathrm{eq}}}{C_{A0}}=1-\frac{C_{A,\mathrm{eq}}}{C_{A0}}=1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}.
  • Em valor decimal e porcentagem:
X_{\mathrm{eq}}=0{,}8=80\%.

Passo 5

Agora o CSTR em regime estacionário — montar o balanço de massa (aula prática de balanço para CSTR):
  • Para \mathrm{A}, balanço estacionário (acúmulo zero):
\frac{F}{V}(C_{A0}-C_{A})-(-r_{A})=0.
Aqui (-r_{A}) é a taxa volumétrica de consumo de \mathrm{A} (positiva quando \mathrm{A} é consumida), e \dfrac{F}{V}(C_{A0}-C_{A}) é o efeito do fluxo.
  • Para \mathrm{P}, balanço estacionário:
\frac{F}{V}(C_{P0}-C_{P})+(-r_{A})=0.
Lembre que C_{P0}=0.

Passo 6

Substituir a expressão de (-r_{A}) e calcular o tempo de residência \tau (aula sobre tempo de residência):
  • Tempo de residência:
\tau=\frac{V}{F}=\frac{2000\\ \mathrm{L}}{100\\ \mathrm{L/min}}=20\\ \mathrm{min}.
  • Escrevendo os balanços multiplicados por \tau para evitar frações:
    Para \mathrm{A}:
0=C_{A0}-C_{A}-\tau\bigl(0{,}04\,C_{A}-0{,}01\,C_{P}\bigr).
Para \mathrm{P}:
0=-C_{P}+\tau\bigl(0{,}04\,C_{A}-0{,}01\,C_{P}\bigr).

Passo 7

Simplificar o sistema (aula de álgebra aplicada):
  • Substituindo \tau=20 nas duas equações:
Equação (A):
0=C_{A0}-C_{A}-20\bigl(0{,}04\,C_{A}-0{,}01\,C_{P}\bigr).
Calcule os coeficientes: 20\cdot0{,}04=0{,}8 e 20\cdot0{,}01=0{,}2. Então:
0=C_{A0}-C_{A}-0{,}8\,C_{A}+0{,}2\,C_{P}.
Combinar termos em C_{A}:
C_{A0}-1{,}8\,C_{A}+0{,}2\,C_{P}=0.
Equação §:
0=-C_{P}+20\bigl(0{,}04\,C_{A}-0{,}01\,C_{P}\bigr).
Novamente 20\cdot0{,}04=0{,}8 e 20\cdot0{,}01=0{,}2. Então:
0=-C_{P}+0{,}8\,C_{A}-0{,}2\,C_{P}.
Combinar termos em C_{P}:
0{,}8\,C_{A}-1{,}2\,C_{P}=0.

Passo 8

Resolver o sistema linear passo a passo (aula de solução de sistema 2x2):
  • Da equação de \mathrm{P}:
0{,}8\,C_{A}-1{,}2\,C_{P}=0 \quad\Rightarrow\quad C_{P}=\frac{0{,}8}{1{,}2}\,C_{A}=\frac{2}{3}\,C_{A}.
  • Substituir em (A):
C_{A0}-1{,}8\,C_{A}+0{,}2\left(\frac{2}{3}\,C_{A}\right)=0.
Calcular 0{,}2\cdot\frac{2}{3}=\frac{0{,}4}{3}=0{,}133\overline{3}. Então:
C_{A0}-1{,}8\,C_{A}+0{,}133\overline{3}\,C_{A}=0.
Combinar os coeficientes de C_{A}:
C_{A0}-\left(1{,}8-0{,}133\overline{3}\right)C_{A}=0 \quad\Rightarrow\quad C_{A0}-\frac{5}{3}\,C_{A}=0.
Logo:
C_{A}=\frac{3}{5}\,C_{A0}=0{,}6\,C_{A0}.
  • Substituir C_{A0}=0{,}100\\ \mathrm{mol/L}:
C_{A}=0{,}6\cdot0{,}100=0{,}060\\ \mathrm{mol/L}.
  • Calcular C_{P}:
C_{P}=\frac{2}{3}\,C_{A}=\frac{2}{3}\cdot0{,}060=0{,}040\\ \mathrm{mol/L}.
Verificação rápida: consumo de \mathrm{A} é C_{A0}-C_{A}=0{,}100-0{,}060=0{,}040\\ \mathrm{mol/L}, que é exatamente C_{P} produzido — consistente com estequiometria.

Passo 9

Calcular a conversão no CSTR e interpretar (aula final sobre interpretação do resultado):
  • Conversão em regime estacionário no CSTR:
X=\frac{C_{A0}-C_{A}}{C_{A0}}=\frac{0{,}100-0{,}060}{0{,}100}=0{,}40=40\%.
  • Interpretação: o equilíbrio dá 80\% de conversão se o sistema atingir equilíbrio completo; porém o CSTR com tempo de residência \tau=20\\ \mathrm{min} alcança apenas 40\% porque o fluxo constante limita o tempo que as moléculas ficam no reator, e o balanço entre fluxo e cinética resulta nessa conversão estacionária.

Resposta

a) X_{\text{eq}}=0{,}8 (80%)
b) X_{\text{CSTR}}=0{,}4 (40%)

Exercícios relacionados