Exercício 8 (Regra da Cadeia envolvendo funções trigonométricas):
Ache \frac{d y}{d x} se
y=\ln (\operatorname{sec} 3 x+\operatorname{tg} 3 x)

Passo 1

O enunciado diz que
y = \ln\bigl(\operatorname{sec}(3x) + \tan(3x)\bigr)
Vamos usar Regra da Cadeia combinada com a derivada de funções trigonométricas. Precisamos de:
  1. A derivada de \ln(u), que é u'/u.
  2. As derivadas de \operatorname{sec}(v) e \tan(v), lembrando de multiplicar pela derivada interna v'.

Passo 2

Seja
u = \operatorname{sec}(3x) + \tan(3x).
Como y = \ln(u), temos
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{u}\,\frac{du}{dx}.

Passo 3

Agora vamos calcular \frac{du}{dx}. Para \operatorname{sec}(3x):
\frac{d}{dx}\bigl[\operatorname{sec}(3x)\bigr] = \operatorname{sec}(3x)\tan(3x)\,\cdot 3.
Para \tan(3x):
\frac{d}{dx}\bigl[\tan(3x)\bigr] = \operatorname{sec}^2(3x)\,\cdot 3.
Somando,
\frac{du}{dx} = 3\,\operatorname{sec}(3x)\tan(3x) \;+\; 3\,\operatorname{sec}^2(3x).

Passo 4

Fatorando 3\,\operatorname{sec}(3x) em \frac{du}{dx}:
\frac{du}{dx} = 3\,\operatorname{sec}(3x)\bigl[\tan(3x) + \operatorname{sec}(3x)\bigr] = 3\,\operatorname{sec}(3x)\,u.

Passo 5

Substituindo em \frac{dy}{dx} = \frac{u'}{u}:
\frac{dy}{dx} = \frac{3\,\operatorname{sec}(3x)\,u}{u} = 3\,\operatorname{sec}(3x).

Resposta

\frac{dy}{dx} = 3\,\operatorname{sec}(3x).

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