Exercício 8 (Regra da Cadeia envolvendo funções trigonométricas):
Ache \frac{d y}{d x} se
y=\operatorname{cotg} x^{2}

Passo 1

O enunciado dá y=\operatorname{cotg} x^{2} e pede \frac{dy}{dx}$. Vamos usar a regra da cadeia (função composta) e a derivada da cotangente, que é
\frac{d}{du}\bigl(\cot u\bigr) = -\csc^{2}u.

Passo 2

Identificamos a função interna e a externa:
u(x) = x^{2}, \quad y(u) = \cot u.

Passo 3

Calculamos a derivada de u em relação a x:
\frac{du}{dx} = 2x.

Passo 4

Calculamos a derivada de y em relação a u:
\frac{dy}{du} = \frac{d}{du}\bigl(\cot u\bigr) = -\csc^{2}u.

Passo 5

Aplicamos a regra da cadeia:
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx} = \bigl(-\csc^{2}u\bigr)\cdot(2x) = -2x\,\csc^{2}u.
Voltando a u=x^{2}, fica
\frac{dy}{dx} = -2x\,\csc^{2}\bigl(x^{2}\bigr).

Resposta

\frac{dy}{dx} = -2x\,\csc^{2}\bigl(x^{2}\bigr).

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