Exercício 7 (Regra da cadeia): Determine a derivada das funções:
y=\ln \left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
y = \ln\bigl(x + \sqrt{x^2 + 1}\bigr).
Para resolver, vamos usar a regra da cadeia aplicada à função logarítmica (derivada de \ln(u) é u'/u) e a derivada de \sqrt{x^2+1}.

Passo 2

Defina
u(x) = x + \sqrt{x^2 + 1}.
Então
u'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(x\bigr) + \frac{d}{dx}\bigl(\sqrt{x^2+1}\bigr) = 1 + \frac{1}{2\sqrt{x^2+1}}\cdot 2x = 1 + \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}.

Passo 3

Pela regra da cadeia,
y' = \frac{u'(x)}{u(x)} = \frac{1 + \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}}{\,x + \sqrt{x^2+1}\,}.
No numerador, coloque em denominador comum \sqrt{x^2+1}:
1 + \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} = \frac{\sqrt{x^2+1}+x}{\sqrt{x^2+1}}.
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y' = \frac{\tfrac{\sqrt{x^2+1}+x}{\sqrt{x^2+1}}}{\,x + \sqrt{x^2+1}\,} = \frac{\sqrt{x^2+1}+x}{\sqrt{x^2+1}\,\bigl(\sqrt{x^2+1}+x\bigr)} = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}.

Resposta

y' = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}.

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