Calcule os seguintes limites:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular o limite de uma função trigonométrica à medida que $ x $ se aproxima de 0. Vamos precisar usar conhecimentos de limites básicos e propriedades das funções trigonométricas, como o comportamento do cosseno e da tangente perto de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o limite para facilitar a visualização:
Aqui, o “^-” indica que estamos considerando o limite quando $ x $ se aproxima de 0 pela esquerda.
Passo 3
Sabemos que, para valores pequenos de $ x $,
se aproxima de
. Então, podemos simplificar a parte do cosseno:
Passo 4
Agora, vamos analisar a tangente no denominador. Para valores pequenos de $ x $,
pode ser aproximada por $ 3x $ (isso vem da aproximação
quando
é próximo de 0):
Como estamos considerando o limite pela esquerda, o sinal de $ x $ será negativo, mas isso não afetará o resultado final já que tanto o numerador quanto o denominador serão negativos, cancelando-se.
Passo 5
Substituindo essas aproximações no limite original:
Passo 6
Simplificando a fração, $ x $ se cancela:
Como não há mais termos com $ x $, o limite é simplesmente $ \frac{4}{3} $.
Resposta
O limite é igual a $ \frac{4}{3} $.