Calcule os seguintes limites:
(1,5 ponto) lim x 0 4 x cos (2 x)tg(3 x)^-

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular o limite de uma função trigonométrica à medida que $ x $ se aproxima de 0. Vamos precisar usar conhecimentos de limites básicos e propriedades das funções trigonométricas, como o comportamento do cosseno e da tangente perto de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o limite para facilitar a visualização:
limx to 0 4x cos(2x)tan(3x)^-
Aqui, o “^-” indica que estamos considerando o limite quando $ x $ se aproxima de 0 pela esquerda.

Passo 3

Sabemos que, para valores pequenos de $ x $, x se aproxima de cos(2x). Então, podemos simplificar a parte do cosseno:
cos(0) = 1

Passo 4

Agora, vamos analisar a tangente no denominador. Para valores pequenos de $ x $, x pode ser aproximada por $ 3x $ (isso vem da aproximação tan(3x) quando 3x é próximo de 0):
tan(theta) approx theta
Como estamos considerando o limite pela esquerda, o sinal de $ x $ será negativo, mas isso não afetará o resultado final já que tanto o numerador quanto o denominador serão negativos, cancelando-se.

Passo 5

Substituindo essas aproximações no limite original:
limx to 0 4x cdot 13x = limx to 0 4x3x

Passo 6

Simplificando a fração, $ x $ se cancela:
x
Como não há mais termos com $ x $, o limite é simplesmente $ \frac{4}{3} $.

Resposta

O limite é igual a $ \frac{4}{3} $.

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