Exercício 9. Seja V um espaço de dimensão finita n e base B. Prove que os vetores v_{1}, \ldots, v_{k} formam um conjunto LI de V se, e só se, os vetores \left[v_{1}\right]_{B}, \ldots,\left[v_{k}\right]_{B} formam um conjunto LI de \mathbb{F}^{n}.

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a equivalência entre duas afirmações. Aqui está o que nos foi dado e o que precisamos provar:
  • Dados: V é um espaço vetorial de dimensão finita n e B=(b_{1},\dots,b_{n}) é uma base de V. Temos vetores v_{1},\dots,v_{k} em V.
  • Pedido: Provar que os vetores v_{1},\dots,v_{k} formam um conjunto linearmente independente (LI) em V se, e somente se, os vetores \left[v_{1}\right]_{B},\dots,\left[v_{k}\right]_{B} formam um conjunto LI em \mathbb{F}^{n}.
  • Informações úteis extraídas do enunciado que usaremos: cada vetor v\in V tem uma representação única em coordenadas relativas à base B; a coordenada do vetor zero é o vetor nulo em \mathbb{F}^{n}.

Passo 2

Vamos lembrar (e entender bem) a definição de independência linear e a definição de vetor de coordenadas, porque a prova vai usar exatamente essas definições.
  • Definição de independência linear: um conjunto de vetores \{w_{1},\dots,w_{m}\} é LI se a única combinação linear que dá o zero é a combinação trivial. Formalmente, \{w_{1},\dots,w_{m}\} é LI se, sempre que existir uma sequência de escalares a_{1},\dots,a_{m} tal que
    a_{1}w_{1}+\cdots+a_{m}w_{m}=0,
    então necessariamente a_{1}=\cdots=a_{m}=0.
  • Vetor de coordenadas relativo à base B: escreva B=(b_{1},\dots,b_{n}). Para qualquer v\in V existem escalares c_{1},\dots,c_{n} (únicos) tais que
    v=c_{1}b_{1}+\cdots+c_{n}b_{n}.
    Definimos \left[v\right]_{B}\in\mathbb{F}^{n} como o vetor coluna cujas entradas são esses coeficientes:
    \left[v\right]_{B}=\begin{pmatrix}c_{1}\\\ \vdots\\\ c_{n}\end{pmatrix}.
    A unicidade desses coeficientes vem do fato de B ser base.

Passo 3

Mostro agora uma propriedade fundamental: o mapeamento de coordenadas
\Phi: V\to\mathbb{F}^{n},\qquad \Phi(v)=\left[v\right]_{B}
é linear. Vamos provar isso explicitamente porque é a peça chave da relação entre combinações lineares em V e combinações lineares em \mathbb{F}^{n}.
Tome u,v\in V e \lambda\in\mathbb{F}. Escreva
u=\sum_{i=1}^{n} \alpha_{i} b_{i},\qquad v=\sum_{i=1}^{n} \beta_{i} b_{i}.
Então
u+v=\sum_{i=1}^{n} (\alpha_{i}+\beta_{i}) b_{i},
logo
\left[u+v\right]_{B}=\begin{pmatrix}\alpha_{1}+\beta_{1}\\\ \vdots\\\ \alpha_{n}+\beta_{n}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\alpha_{1}\\\ \vdots\\\ \alpha_{n}\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}\beta_{1}\\\ \vdots\\\ \beta_{n}\end{pmatrix} =\left[u\right]_{B}+\left[v\right]_{B}.
E
\lambda u=\sum_{i=1}^{n} (\lambda\alpha_{i}) b_{i},
logo
\left[\lambda u\right]_{B}=\lambda\begin{pmatrix}\alpha_{1}\\\ \vdots\\\ \alpha_{n}\end{pmatrix} =\lambda\left[u\right]_{B}.
Portanto \Phi preserva soma e multiplicação por escalar, ou seja, \Phi é linear.
Uma consequência imediata: para quaisquer escalares a_{1},\dots,a_{k} e vetores v_{1},\dots,v_{k}\in V vale a igualdade
\left[a_{1}v_{1}+\cdots+a_{k}v_{k}\right]_{B}=a_{1}\left[v_{1}\right]_{B}+\cdots+a_{k}\left[v_{k}\right]_{B}.
Isto é simplesmente aplicar a linearidade de \Phi várias vezes.

Passo 4

Prova da primeira implicação: se \{v_{1},\dots,v_{k}\} é LI em V então \{\left[v_{1}\right]_{B},\dots,\left[v_{k}\right]_{B}\} é LI em \mathbb{F}^{n}.
  • Suponha que \{v_{1},\dots,v_{k}\} seja LI.
  • Considere uma combinação linear em \mathbb{F}^{n}: a_{1}\left[v_{1}\right]_{B}+\cdots+a_{k}\left[v_{k}\right]_{B}=0onde 0 é o vetor nulo em \mathbb{F}^{n}.
  • Pela propriedade do passo anterior (linearidade de \Phi), a esquerda é igual a \left[a_{1}v_{1}+\cdots+a_{k}v_{k}\right]_{B}. Logo \left[a_{1}v_{1}+\cdots+a_{k}v_{k}\right]_{B}=0.
  • O vetor de coordenadas do vetor zero em V é o vetor nulo em \mathbb{F}^{n}, e a correspondência entre vetor e seu vetor de coordenadas é única. Portanto a_{1}v_{1}+\cdots+a_{k}v_{k}=0 \quad\text{em }V.
  • Como \{v_{1},\dots,v_{k}\} é LI, a combinação acima implica que a_{1}=\cdots=a_{k}=0.
  • Concluímos que a única combinação linear dos vetores \left[v_{1}\right]_{B},\dots,\left[v_{k}\right]_{B} que dá zero é a trivial; portanto eles são LI em \mathbb{F}^{n}.

Passo 5

Prova da segunda implicação: se \{\left[v_{1}\right]_{B},\dots,\left[v_{k}\right]_{B}\} é LI em \mathbb{F}^{n} então \{v_{1},\dots,v_{k}\} é LI em V.
  • Suponha que \{\left[v_{1}\right]_{B},\dots,\left[v_{k}\right]_{B}\} seja LI.
  • Considere uma combinação linear em V: a_{1}v_{1}+\cdots+a_{k}v_{k}=0.
  • Aplicando o mapeamento de coordenadas (linear) obtemos a_{1}\left[v_{1}\right]_{B}+\cdots+a_{k}\left[v_{k}\right]_{B}=\left[0\right]_{B}=0onde, de novo, \left[0\right]_{B} é o vetor nulo em \mathbb{F}^{n}.
  • Como os vetores \left[v_{1}\right]_{B},\dots,\left[v_{k}\right]_{B} são LI, segue que a_{1}=\cdots=a_{k}=0.
  • Assim a combinação original em V é trivial, e portanto \{v_{1},\dots,v_{k}\} é LI.

Passo 6

Resumo didático curto (para fixar): a razão pela qual essa equivalência funciona é que a transformação que manda cada vetor no seu vetor de coordenadas em relação à base B é linear e injeta informações sem perda (é bijetiva, no caso de base). Logo qualquer relação linear entre os v_{j} corresponde exatamente à mesma relação linear entre os \left[v_{j}\right]_{B}. Em particular, dependência/independência é preservada.
Um pequeno exemplo concreto para intuir: em V=\mathbb{R}^{2} com base padrão B=((1,0),(0,1)), os vetores v_{1}=(1,1) e v_{2}=(2,2) têm coordenadas \left[v_{1}\right]_{B}=\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix} e \left[v_{2}\right]_{B}=\begin{pmatrix}2\\\ 2\end{pmatrix}. Esses vetores em \mathbb{R}^{2} são dependentes, e suas coordenadas também são dependentes — mesmo padrão aparece nas duas representações, como nossa prova garante.

Resposta

\{v_{1},\dots,v_{k}\} é linearmente independente em V se, e somente se, \{\left[v_{1}\right]_{B},\dots,\left[v_{k}\right]_{B}\} é linearmente independente em \mathbb{F}^{n}.

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