Seja
. Mostre que
.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Foi dado que
. - Aqui
e são bases de um espaço vetorial de dimensão . Vou assumir (como usual neste tipo de afirmação) que e são bases ortonormais em relação ao produto interno padrão (por exemplo em com o produto escalar usual). - O que se pede: mostrar que
.
Informações relevantes extraídas do enunciado (ou necessárias para a prova que vamos fazer):
-
é a matriz que transforma coordenadas em nas coordenadas em . Ou seja, para qualquer vetor ,
- Pela definição,
é a matriz que transforma coordenadas em nas coordenadas em .
(Não resolvo nada ainda; apenas identifiquei o pedido e as informações que vamos usar.)
Passo 2
Definição concreta da matriz
e interpretação das suas colunas:
- Se eu aplico a relação
às bases, tomo . As coordenadas de em são o vetor canônico (com um 1 na posição e zeros nas outras), logo
- Mas multiplicar
por retorna precisamente a -ésima coluna de . Portanto as colunas de são as coordenadas dos vetores de expressas na base :
- Intuição útil: cada coluna é o vetor
escrito em coordenadas relativas à base .
Passo 3
Relacionando produto interno e coordenadas em uma base ortonormal:
- Se
é uma base ortonormal, então as coordenadas fazem com que o produto interno entre dois vetores seja o produto escalar usual das suas coordenadas em . Ou seja, para quaisquer vetores ,
- Aplicando isso aos vetores da base
: para quaisquer,
- Como assumimos
ortonormal, se e se . Em símbolos,
onde
é o delta de Kronecker.
Passo 4
Mostrar que as colunas de
são vetores ortonormais (portanto
):
- Usando a expressão das colunas da etapa anterior, o produto
tem entradas
- Isso vale para todo
. Logo a matriz é exatamente a identidade :
- Uma matriz cuja transposta vezes ela mesma é a identidade tem colunas ortonormais e é uma matriz ortogonal. Consequentemente
é invertível e
Passo 5
Identificar
com
e concluir:
- Pela definição de
temos para todo . Aplicando em ambos os lados:
- Mas a matriz que envia
em é exatamente, por definição, . Logo
- Combinando com o resultado do Passo 4 (
), obtemos