Seja P=P_{B \rightarrow S}. Mostre que P^{T}=P_{S \rightarrow B}.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Foi dado que P = P_{B \rightarrow S}.
  • Aqui B=\{b_{1},\dots,b_{n}\} e S=\{s_{1},\dots,s_{n}\} são bases de um espaço vetorial de dimensão n. Vou assumir (como usual neste tipo de afirmação) que B e S são bases ortonormais em relação ao produto interno padrão (por exemplo em \mathbb{R}^{n} com o produto escalar usual).
  • O que se pede: mostrar que P^{T}=P_{S\rightarrow B}.
Informações relevantes extraídas do enunciado (ou necessárias para a prova que vamos fazer):
  • P_{B\rightarrow S} é a matriz que transforma coordenadas em B nas coordenadas em S. Ou seja, para qualquer vetor v,
[v]_{S}=P_{B\rightarrow S}\,[v]_{B}.
  • Pela definição, P_{S\rightarrow B} é a matriz que transforma coordenadas em S nas coordenadas em B.
(Não resolvo nada ainda; apenas identifiquei o pedido e as informações que vamos usar.)

Passo 2

Definição concreta da matriz P e interpretação das suas colunas:
  • Se eu aplico a relação [v]_{S}=P\,[v]_{B} às bases, tomo v=b_{j}. As coordenadas de b_{j} em B são o vetor canônico e_{j} (com um 1 na posição j e zeros nas outras), logo
[b_{j}]_{S}=P\,[e_{j}].
  • Mas multiplicar P por e_{j} retorna precisamente a j-ésima coluna de P. Portanto as colunas de P são as coordenadas dos vetores de B expressas na base S:
P = \big([b_{1}]_{S}\;\;[b_{2}]_{S}\;\;\cdots\;\;[b_{n}]_{S}\big).
  • Intuição útil: cada coluna é o vetor b_{j} escrito em coordenadas relativas à base S.

Passo 3

Relacionando produto interno e coordenadas em uma base ortonormal:
  • Se S é uma base ortonormal, então as coordenadas fazem com que o produto interno entre dois vetores seja o produto escalar usual das suas coordenadas em S. Ou seja, para quaisquer vetores x,y,
\langle x,y\rangle = [x]_{S}^{T}\,[y]_{S}.
  • Aplicando isso aos vetores da base B: para i,j quaisquer,
\langle b_{i},b_{j}\rangle = [b_{i}]_{S}^{T}\,[b_{j}]_{S}.
  • Como assumimos B ortonormal, \langle b_{i},b_{j}\rangle = 0 se i\neq j e =1 se i=j. Em símbolos,
\langle b_{i},b_{j}\rangle = \delta_{ij},
onde \delta_{ij} é o delta de Kronecker.

Passo 4

Mostrar que as colunas de P são vetores ortonormais (portanto P^{T}P=I):
  • Usando a expressão das colunas da etapa anterior, o produto P^{T}P tem entradas
(P^{T}P)_{ij} = [b_{i}]_{S}^{T}\,[b_{j}]_{S} = \langle b_{i},b_{j}\rangle = \delta_{ij}.
  • Isso vale para todo i,j. Logo a matriz P^{T}P é exatamente a identidade I_{n}:
P^{T}P = I_{n}.
  • Uma matriz cuja transposta vezes ela mesma é a identidade tem colunas ortonormais e é uma matriz ortogonal. Consequentemente P é invertível e
P^{-1} = P^{T}.

Passo 5

Identificar P^{-1} com P_{S\rightarrow B} e concluir:
  • Pela definição de P_{B\rightarrow S} temos [v]_{S}=P\,[v]_{B} para todo v. Aplicando P^{-1} em ambos os lados:
[v]_{B} = P^{-1}\,[v]_{S}.
  • Mas a matriz que envia [v]_{S} em [v]_{B} é exatamente, por definição, P_{S\rightarrow B}. Logo
P_{S\rightarrow B} = P^{-1}.
  • Combinando com o resultado do Passo 4 ( P^{-1}=P^{T}), obtemos
P_{S\rightarrow B} = P^{T}.

Resposta

P^{T}=P_{S\rightarrow B}

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