Exercício
resistência à compressão do concreto está sendo testada por um engenheiro civil. Ele ensaia 12 corpos de prova e obtém os seguintes dados:
2216
2237
2249
2204
2225
2301
2281
2263
2318
2255
2275
2295
Considere que a resistência à compressão é uma v.a
, com
e
desconhecidos.
Construa um intervalo de confiança bilateral de
para a média da resistência
;
| 2216 | 2237 | 2249 | 2204 |
| 2225 | 2301 | 2281 | 2263 |
| 2318 | 2255 | 2275 | 2295 |
Construa um intervalo de confiança bilateral de
Passo 1
O enunciado fornece uma amostra de tamanho
das resistências à compressão (em unidades arbitrárias) e pede um intervalo de confiança bilateral de
para a média
, assumindo
com
e
desconhecidos.
Dados (peguei estes números do enunciado):
O que se pede: construir um intervalo de confiança de
para
.
Passo 2
Calcular a média amostral
.
Fórmula da média amostral:
onde
é o tamanho da amostra e
são as observações.
Soma das observações (peguei a soma calculando os números fornecidos):
Logo
Passo 3
Calcular a variância amostral
e o desvio padrão amostral
.
Fórmula usada (forma computacional, evita calcular desvios um a um):
Peguei da conta:
Também já tínhamos
. Então
Dividindo por
:
Portanto o desvio padrão amostral é
Comentários rápidos:
é uma estimativa não viciada da variância populacional
e usa divisão por
(graus de liberdade).
Passo 4
Construir o intervalo de confiança utilizando a distribuição
de Student (porque
é desconhecida e
é normal).
Fórmula do intervalo bilateral de nível
para
:
onde
-
é a média amostral, -
é o desvio padrão amostral, -
é o tamanho da amostra, -
é o quantil da distribuição com graus de liberdade tal que a área acima é .
Aqui
(porque queremos
),
. O valor tabelado é
Calcular o termo de erro (margem):
Calculei
, então
e
Portanto o intervalo é
ou seja
Passo 5
Interpretação curta e incentivo: isso significa que, com confiança de
, a média verdadeira
da resistência está entre aproximadamente
e
. Boa! Você já tem o intervalo; na prova faça cada passo com calma (calcule
,
, pegue
na tabela para
e aplique a fórmula). Vai dar tudo certo — respira e faz devagar.