Exercício 5 A resistência à compressão do concreto está sendo testada por um engenheiro civil. Ele ensaia 12 corpos de prova e obtém os seguintes dados:
2216 2237 2249 2204
2225 2301 2281 2263
2318 2255 2275 2295
Considere que a resistência à compressão é uma v.a X \sim N\left(\mu, \sigma^{2}\right), com \mu e \sigma^{2} desconhecidos.
Construa um intervalo de confiança bilateral de 95 \% para a média da resistência \mu;

Passo 1

O enunciado fornece uma amostra de tamanho n=12 das resistências à compressão (em unidades arbitrárias) e pede um intervalo de confiança bilateral de 95\% para a média \mu, assumindo X\sim N(\mu,\sigma^{2}) com \mu e \sigma^{2} desconhecidos.
Dados (peguei estes números do enunciado):
2216,\;2237,\;2249,\;2204,\;2225,\;2301,\;2281,\;2263,\;2318,\;2255,\;2275,\;2295.
O que se pede: construir um intervalo de confiança de 95\% para \mu.

Passo 2

Calcular a média amostral \bar{x}.
Fórmula da média amostral:
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i,
onde n é o tamanho da amostra e x_i são as observações.
Soma das observações (peguei a soma calculando os números fornecidos):
\sum_{i=1}^{12} x_i = 27119.
Logo
\bar{x}=\frac{27119}{12}=2259,916\overline{6}\approx2259,917.

Passo 3

Calcular a variância amostral s^{2} e o desvio padrão amostral s.
Fórmula usada (forma computacional, evita calcular desvios um a um):
s^{2}=\frac{1}{n-1}\left(\sum_{i=1}^{n} x_i^{2}-\frac{\left(\sum_{i=1}^{n} x_i\right)^{2}}{n}\right).
Peguei da conta:
\sum_{i=1}^{12} x_i^{2}=61300597.
Também já tínhamos \left(\sum_{i=1}^{12} x_i\right)^{2}=27119^{2}=735440161. Então
\sum x_i^{2}-\frac{(\sum x_i)^{2}}{n}=61300597-\frac{735440161}{12}=13916,916\overline{6}.
Dividindo por n-1=11:
s^{2}=\frac{13916,916\overline{6}}{11}\approx1265,174.
Portanto o desvio padrão amostral é
s=\sqrt{s^{2}}\approx35,569.
Comentários rápidos: s^{2} é uma estimativa não viciada da variância populacional \sigma^{2} e usa divisão por n-1 (graus de liberdade).

Passo 4

Construir o intervalo de confiança utilizando a distribuição t de Student (porque \sigma é desconhecida e X é normal).
Fórmula do intervalo bilateral de nível 1-\alpha para \mu:
\bar{x}\pm t_{1-\alpha/2,\;n-1}\,\frac{s}{\sqrt{n}},
onde
  • \bar{x} é a média amostral,
  • s é o desvio padrão amostral,
  • n é o tamanho da amostra,
  • t_{1-\alpha/2,\;n-1} é o quantil da distribuição t com n-1 graus de liberdade tal que a área acima é \alpha/2.
Aqui \alpha=0,05 (porque queremos 95\%), n-1=11. O valor tabelado é
t_{0,975,\;11}\approx2,201.
Calcular o termo de erro (margem):
\text{margem}=t_{0,975,11}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}\approx 2,201\cdot\frac{35,569}{\sqrt{12}}.
Calculei \sqrt{12}\approx3,4641, então
\frac{s}{\sqrt{n}}\approx\frac{35,569}{3,4641}\approx10,268,
e
\text{margem}\approx2,201\cdot10,268\approx22,600.
Portanto o intervalo é
\bar{x}\pm\text{margem}=2259,917\pm22,600,
ou seja
(2259,917-22,600,\;2259,917+22,600)\approx(2237,317,\;2282,517).

Passo 5

Interpretação curta e incentivo: isso significa que, com confiança de 95\%, a média verdadeira \mu da resistência está entre aproximadamente 2237,317 e 2282,517. Boa! Você já tem o intervalo; na prova faça cada passo com calma (calcule \bar{x}, s, pegue t na tabela para n-1 e aplique a fórmula). Vai dar tudo certo — respira e faz devagar.

Resposta

\displaystyle \mu\in(2237,317,\;2282,517)

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