Uma máquina que classifica automaticamente “curtidas positivas” e “curtidas negativas” em comentários políticos nas redes sociais tem uma precisão alegada pela empresa de 75 \%. Pesquisadores testaram o algoritmo em 200 comentários rotulados manualmente e ele acertou 130. Teste ao nível de 5 \% se a taxa de acerto é realmente de 75 \%.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (tirei estes números do enunciado):
  • Tamanho da amostra: n=200.
  • Número de acertos observados: x=130.
  • Precisão alegada pela empresa: p_{0}=0,75.
  • Nível de significância: \alpha=0,05.
O que o problema pede:
  • Testar, ao nível de 5\%, se a taxa de acerto é realmente 75\%. Em outras palavras, decidir entre as hipóteses sobre a proporção verdadeira p.

Passo 2

Formular as hipóteses (a pergunta é se a taxa é “realmente” 75\%, isto indica teste bilateral):
H_0: p = p_{0}=0,75
H_1: p \neq 0,75
Explicação didática: p é a verdadeira proporção de acertos do algoritmo na população de comentários. H_0 diz que a proporção é igual a 0,75; H_1 diz que é diferente (pode ser maior ou menor). Em prova, identifique sempre se o teste é unilateral ou bilateral a partir do enunciado.

Passo 3

Verificar se podemos usar a aproximação normal (condições):
  • Calcular n p_{0}=200\cdot0,75=150.
  • Calcular n(1-p_{0})=200\cdot0,25=50.
Regra prática: usar aproximação normal quando n p_{0}\ge 5 e n(1-p_{0})\ge 5. Aqui ambas são grandes, então podemos usar o teste-z para proporção. Explicação didática: sob H_0, a distribuição do estimador de proporção \hat{p} é aproximadamente normal com média p_0 e variância p_0(1-p_0)/n.

Passo 4

Calcular a proporção amostral e o desvio padrão sob H_0:
  • Proporção observada:
\hat{p}=\frac{x}{n}=\frac{130}{200}=0,65.
  • Erro padrão sob H_0:
\text{SE}=\sqrt{\frac{p_{0}(1-p_{0})}{n}}=\sqrt{\frac{0,75\cdot0,25}{200}}=\sqrt{\frac{0,1875}{200}}=\sqrt{0,0009375}\approx0,03062.
Explicação didática: \hat{p} é a melhor estimativa da proporção com base na amostra. Em testes de proporção usamos a variância calculada com p_0 (não com \hat{p}) porque assumimos H_0 ao calcular o desvio padrão da estatística de teste.

Passo 5

Calcular a estatística de teste Z:
Z=\frac{\hat{p}-p_{0}}{\text{SE}}=\frac{0,65-0,75}{0,03062}=\frac{-0,10}{0,03062}\approx-3,27.
Explicação didática: Z mede quantos desvios-padrão a proporção amostral está distante da proporção hipotética p_0. Valores extremos (em módulo grande) indicam evidência contra H_0.

Passo 6

Calcular o p-valor e tomar a decisão:
  • Para teste bilateral, o p-valor é 2 vezes a cauda da normal padrão:
p\text{-valor}=2\Pr(Z\le -3,27)\approx 2\cdot0,00055\approx0,0011.
(Usei a tabela/funcão da normal padrão para \Pr(Z\le -3,27)\approx0,00055.)
  • Comparando com \alpha=0,05: p\text{-valor}=0,0011<0,05. Portanto rejeitamos H_0.
Explicação didática: o p-valor é a probabilidade, assumindo H_0 verdadeira, de observar uma estatística pelo menos tão extrema quanto a obtida. Como essa probabilidade é muito pequena, a evidência contra H_0 é forte.

Passo 7

Interpretação final e dica para prova:
  • Conclusão prática: há evidência estatística significativa ao nível de 5\% de que a taxa real de acerto do algoritmo NÃO é 75\%. Como \hat{p}=0,65<0,75, a evidência aponta que a precisão observada é menor que a alegada.
  • Dica de prova (resuma em 3 passos quando estiver no exame): (1) escrever H_0 e H_1; (2) calcular \hat{p}, \text{SE}=\sqrt{p_0(1-p_0)/n} e Z; (3) obter p-valor ou comparar com z_{1-\alpha/2} e decidir.

Resposta

Rejeita-se H_0 ao nível de 5\% (há evidência de que a taxa difere de 75\%); p-valor \approx0,0011.

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