Uma ONG afirma que jovens entre 15 e 29 anos lêem, em média, 4 livros por ano de não ficção. Uma amostra de 30 jovens apresentou a seguinte distribuição (em \mathrm{n}^{\mathrm{o}} de livros lidos): \{3,5,4,2,6,4,3,4,5,3,4,2,6,4,5,3,4,4,2,5,4,3,4,4,6,5,3,4,2,4\}. Teste ao nível de 5 \% se a média de livros de não ficção/ano desses jovens é igual a 4 .
Passo 1
O enunciado nos dá:
Hipótese da ONG: a média de livros de não ficção lidos por ano por jovens entre 15 e 29 anos é 4.
Amostra de n=30 jovens com os dados (nº de livros): \{3,5,4,2,6,4,3,4,5,3,4,2,6,4,5,3,4,4,2,5,4,3,4,4,6,5,3,4,2,4\}.
Nível de significância: \alpha=5\%.
O que o problema pede: testar, ao nível de 5\%, se a média populacional \mu é igual a 4. Ou seja, decidir entre
H_0:\mu=4 \qquad\text{e}\qquad H_1:\mu\neq4
(teste bilateral).
Passo 2
Qual método usar e por quê:
Não foi dada a variância populacional, logo devemos usar o teste t de Student para a média (método básico e adequado quando \sigma é desconhecida e n é moderado).
O teste t usa a estatística
t=\frac{\overline{X}-\mu_0}{S/\sqrt{n}},
onde \overline{X} é a média amostral, S é o desvio-padrão amostral (estimador de \sigma) e n o tamanho da amostra. Essa estatística segue, sob H_0, a distribuição t com n-1 graus de liberdade.
Passo 3
Calcular a média amostral \overline{X} (passo a passo, usando contagens para facilitar no papel):
Contagem por valores (peguei estes números da amostra dada):
Interpretação: o valor de t indica quantos desvios-padrão-amostrais a média está abaixo do valor hipotético 4. Aqui está bem perto de zero (pouco deslocamento).
Passo 6
Regra de decisão e p-valor:
Para um teste bilateral ao nível \alpha=0,05 com df=29, o valor crítico é aproximadamente
t_{0,025;29}\approx2,045.
Regra: rejeitar H_0 se |t|>2,045.
Aqui |t|\approx0,474 < 2,045. Logo não rejeitamos H_0.
Cálculo aproximado do p-valor: para t\approx-0,474 e df=29, o p-valor bilateral é cerca de
p\approx0,64
(aproximação usando a simetria da t-distribuição; trata-se de um p-valor grande, muito acima de 0,05).
Conclusão estatística: não há evidência significativa para afirmar que a média difere de 4 ao nível de 5\%.
Passo 7
Interpretação em linguagem simples e encorajamento:
A média amostral é \overline{X}=3,9, muito próxima de 4. O teste mostra que essa pequena diferença pode facilmente ocorrer por variação amostral.
Portanto, com a amostra atual não se pode concluir que a média real dos jovens difira de 4. Se quiseres detectar diferenças menores que 0,1 no futuro, seria preciso uma amostra maior (posso te explicar como calcular o tamanho amostral se quiser).
Resposta
Não rejeita-se H_0 ao nível de 5\%: \overline{X}=3,9, estatística t\approx-0,474, p\approx0,64.