Uma ONG afirma que jovens entre 15 e 29 anos lêem, em média, 4 livros por ano de não ficção. Uma amostra de 30 jovens apresentou a seguinte distribuição (em \mathrm{n}^{\mathrm{o}} de livros lidos): \{3,5,4,2,6,4,3,4,5,3,4,2,6,4,5,3,4,4,2,5,4,3,4,4,6,5,3,4,2,4\}. Teste ao nível de 5 \% se a média de livros de não ficção/ano desses jovens é igual a 4 .

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • Hipótese da ONG: a média de livros de não ficção lidos por ano por jovens entre 15 e 29 anos é 4.
  • Amostra de n=30 jovens com os dados (nº de livros): \{3,5,4,2,6,4,3,4,5,3,4,2,6,4,5,3,4,4,2,5,4,3,4,4,6,5,3,4,2,4\}.
  • Nível de significância: \alpha=5\%.
O que o problema pede: testar, ao nível de 5\%, se a média populacional \mu é igual a 4. Ou seja, decidir entre
H_0:\mu=4 \qquad\text{e}\qquad H_1:\mu\neq4
(teste bilateral).

Passo 2

Qual método usar e por quê:
  • Não foi dada a variância populacional, logo devemos usar o teste t de Student para a média (método básico e adequado quando \sigma é desconhecida e n é moderado).
  • O teste t usa a estatística
t=\frac{\overline{X}-\mu_0}{S/\sqrt{n}},
onde \overline{X} é a média amostral, S é o desvio-padrão amostral (estimador de \sigma) e n o tamanho da amostra. Essa estatística segue, sob H_0, a distribuição t com n-1 graus de liberdade.

Passo 3

Calcular a média amostral \overline{X} (passo a passo, usando contagens para facilitar no papel):
  • Contagem por valores (peguei estes números da amostra dada):
    • 2 aparece 4 vezes,
    • 3 aparece 6 vezes,
    • 4 aparece 12 vezes,
    • 5 aparece 5 vezes,
    • 6 aparece 3 vezes.
  • Soma dos valores:
\sum x_i = 2\cdot4 + 3\cdot6 + 4\cdot12 + 5\cdot5 + 6\cdot3 = 8 + 18 + 48 + 25 + 18 = 117.
  • Média amostral:
\overline{X}=\frac{1}{n}\sum x_i=\frac{117}{30}=3,9.
Breve explicação: \overline{X} é a soma dos valores dividida por n; representa a melhor estimativa da média populacional quando usamos a amostra.

Passo 4

Calcular o desvio-padrão amostral S (usando a fórmula por soma dos quadrados):
  • Primeiro calculei \sum x_i^2 pelas frequências:
\sum x_i^2 = 2^2\cdot4 + 3^2\cdot6 + 4^2\cdot12 + 5^2\cdot5 + 6^2\cdot3 =16 + 54 + 192 + 125 + 108 = 495.
  • Fórmula para a variância amostral:
S^2=\frac{1}{n-1}\Big(\sum x_i^2 - n\overline{X}^2\Big).
Substituindo:
S^2=\frac{1}{29}\big(495 - 30\cdot(3,9)^2\big).
Calcule (3,9)^2 = 15,21 e 30\cdot15,21 = 456,3. Então
S^2=\frac{495-456,3}{29}=\frac{38,7}{29}\approx1,33448.
  • Desvio-padrão amostral:
S=\sqrt{S^2}\approx\sqrt{1,33448}\approx1,156.
Explicação didática: usa-se n-1 no denominador (não n) para obter um estimador não viesado de \sigma^2 — isso é a correção de Bessel.

Passo 5

Calcular a estatística de teste t:
  • Fórmula (repetindo):
t=\frac{\overline{X}-\mu_0}{S/\sqrt{n}}.
  • Substituindo \overline{X}=3,9, \mu_0=4, S\approx1,156, n=30:
S/\sqrt{n}\approx\frac{1,156}{\sqrt{30}}=\frac{1,156}{5,477}\approx0,2111.
t=\frac{3,9-4}{0,2111}=\frac{-0,1}{0,2111}\approx-0,474.
Grau de liberdade: df=n-1=29.
Interpretação: o valor de t indica quantos desvios-padrão-amostrais a média está abaixo do valor hipotético 4. Aqui está bem perto de zero (pouco deslocamento).

Passo 6

Regra de decisão e p-valor:
  • Para um teste bilateral ao nível \alpha=0,05 com df=29, o valor crítico é aproximadamente
t_{0,025;29}\approx2,045.
Regra: rejeitar H_0 se |t|>2,045.
  • Aqui |t|\approx0,474 < 2,045. Logo não rejeitamos H_0.
  • Cálculo aproximado do p-valor: para t\approx-0,474 e df=29, o p-valor bilateral é cerca de
p\approx0,64
(aproximação usando a simetria da t-distribuição; trata-se de um p-valor grande, muito acima de 0,05).
Conclusão estatística: não há evidência significativa para afirmar que a média difere de 4 ao nível de 5\%.

Passo 7

Interpretação em linguagem simples e encorajamento:
  • A média amostral é \overline{X}=3,9, muito próxima de 4. O teste mostra que essa pequena diferença pode facilmente ocorrer por variação amostral.
  • Portanto, com a amostra atual não se pode concluir que a média real dos jovens difira de 4. Se quiseres detectar diferenças menores que 0,1 no futuro, seria preciso uma amostra maior (posso te explicar como calcular o tamanho amostral se quiser).

Resposta

Não rejeita-se H_0 ao nível de 5\%: \overline{X}=3,9, estatística t\approx-0,474, p\approx0,64.

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