Exercício 2.5. Resolva as EDO’s e os PVI’s:
y^{\prime}=e^{2 x-3 y}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária
y' = e^{2x-3y}
e pede que a resolvamos (nenhum PVI com condição inicial foi informado). Informações relevantes:
  • A equação está escrita como derivada de y em relação a x: y'=\dfrac{dy}{dx}.
  • A função do lado direito é um exponencial que mistura x e y: e^{2x-3y}=e^{2x}e^{-3y}.
  • Como não há condição inicial, devemos encontrar a solução geral (com constante arbitrária) e indicar restrições de domínio necessárias.

Passo 2

Identificação do método a aplicar (sem usar o nome técnico aqui, só a ideia): reparte a equação em uma parte que depende só de y e outra que depende só de x, para integrar cada lado. Vou mostrar por que isso é possível e como fazer passo a passo.
Começamos escrevendo explicitamente a derivada:
\frac{dy}{dx}=e^{2x-3y}.
Multiplicamos ambos os lados por e^{3y} (isso é permitido, estamos só reorganizando) para isolar termos com y numa mesma expressão:
e^{3y}\frac{dy}{dx}=e^{2x}.
Agora percebemos que o lado esquerdo é uma função de y vezes \dfrac{dy}{dx} e o direito é função de x; isso nos permite separar variáveis.

Passo 3

Transformamos a igualdade em uma forma que permita integrar em x e em y. Troque a notação \dfrac{dy}{dx}\,dx por dy e separe:
e^{3y}\,dy = e^{2x}\,dx.
Explicando devagar: a ideia é tratar dy como o diferencial associado a y e dx ao x. Agora cada lado depende só de uma variável, então podemos integrar ambos os lados.

Passo 4

Integramos ambos os lados. Lembre-se da fórmula básica para integrais de exponenciais: para real a\neq0,
\int e^{a t}\,dt = \frac{1}{a} e^{a t} + C.
Aplicando ao nosso caso:
\int e^{3y}\,dy = \int e^{2x}\,dx.
Calculando explicitamente:
\frac{1}{3}e^{3y} = \frac{1}{2}e^{2x} + C,
onde C é a constante de integração (uma única constante basta porque integrámos uma vez).

Passo 5

Isolamos e^{3y} multiplicando por 3:
e^{3y} = \frac{3}{2} e^{2x} + C_1,
onde C_1=3C é só uma renomeação da constante (é comum fazer isso para ficar mais limpo). Observe que o membro esquerdo e^{3y} é sempre positivo, portanto a expressão do lado direito deve ser positiva no domínio em que a solução for considerada: \dfrac{3}{2}e^{2x}+C_1>0.

Passo 6

Passamos de uma expressão com e^{3y} para y tomando logaritmo natural. Como e^{3y}>0, o logaritmo está bem definido:
3y = \ln\!\left(\frac{3}{2} e^{2x} + C_1\right).
Finalmente dividimos por 3 para obter y:
y(x) = \frac{1}{3}\ln\!\left(\frac{3}{2} e^{2x} + C_1\right).

Passo 7

Interpretação da constante e domínio:
  • C_1 é uma constante arbitrária real. Porém a solução só faz sentido onde o argumento do \ln for positivo:
\frac{3}{2} e^{2x} + C_1 > 0.
  • Para C_1>0 isso vale para todo x\in\mathbb{R}. Para C_1\le 0 o domínio fica restrito aos x tais que \dfrac{3}{2}e^{2x} > -C_1.
  • Se houver uma condição inicial do tipo y(x_0)=y_0, basta substituir x=x_0, y=y_0 na forma e^{3y}=\dfrac{3}{2}e^{2x}+C_1 e resolver para C_1 para obter a solução particular.

Resposta

y(x)=\dfrac{1}{3}\ln\!\left(\dfrac{3}{2}e^{2x}+C\right), com C constante arbitrária tal que \dfrac{3}{2}e^{2x}+C>0 no domínio considerado.

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