Exercício 2.5. Resolva as EDO’s e os PVI’s:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária
e pede que a resolvamos (nenhum PVI com condição inicial foi informado). Informações relevantes:
- A equação está escrita como derivada de
em relação a : . - A função do lado direito é um exponencial que mistura
e : . - Como não há condição inicial, devemos encontrar a solução geral (com constante arbitrária) e indicar restrições de domínio necessárias.
Passo 2
Identificação do método a aplicar (sem usar o nome técnico aqui, só a ideia): reparte a equação em uma parte que depende só de
e outra que depende só de
, para integrar cada lado. Vou mostrar por que isso é possível e como fazer passo a passo.
Começamos escrevendo explicitamente a derivada:
Multiplicamos ambos os lados por
(isso é permitido, estamos só reorganizando) para isolar termos com
numa mesma expressão:
Agora percebemos que o lado esquerdo é uma função de
vezes
e o direito é função de
; isso nos permite separar variáveis.
Passo 3
Transformamos a igualdade em uma forma que permita integrar em
e em
. Troque a notação
por
e separe:
Explicando devagar: a ideia é tratar
como o diferencial associado a
e
ao
. Agora cada lado depende só de uma variável, então podemos integrar ambos os lados.
Passo 4
Integramos ambos os lados. Lembre-se da fórmula básica para integrais de exponenciais: para real
,
Aplicando ao nosso caso:
Calculando explicitamente:
onde
é a constante de integração (uma única constante basta porque integrámos uma vez).
Passo 5
Isolamos
multiplicando por
:
onde
é só uma renomeação da constante (é comum fazer isso para ficar mais limpo). Observe que o membro esquerdo
é sempre positivo, portanto a expressão do lado direito deve ser positiva no domínio em que a solução for considerada:
.
Passo 6
Passamos de uma expressão com
para
tomando logaritmo natural. Como
, o logaritmo está bem definido:
Finalmente dividimos por
para obter
:
Passo 7
Interpretação da constante e domínio:
-
é uma constante arbitrária real. Porém a solução só faz sentido onde o argumento do for positivo:
- Para
isso vale para todo . Para o domínio fica restrito aos tais que . - Se houver uma condição inicial do tipo
, basta substituir , na forma e resolver para para obter a solução particular.