Exercício 2.5. Resolva as EDO’s e os PVI’s:
\left\{\begin{array}{r}y^{\prime}=-\frac{x}{y} \\\ y(4)=3\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e o problema de valor inicial:
\begin{cases} y'(x) = -\dfrac{x}{y(x)},\\[4pt] y(4)=3. \end{cases}
Pergunta: encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial dada.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação diferencial é \displaystyle y' = -\frac{x}{y}.
  • A condição inicial é \displaystyle y(4)=3.]

Passo 2

Observação didática sobre a técnica a usar (sem resolver ainda): aqui a equação é do tipo que permite separar as variáveis (chamada EDO separável). Isso significa que podemos rearranjar os termos para colocar as expressões que envolvem y junto com dy e as que envolvem x junto com dx, e depois integrar ambos os lados.
Explicando o porquê: escrever y'=\dfrac{dy}{dx} transforma a equação em algo do tipo \dfrac{dy}{dx}=g(x)h(y). Se conseguimos escrever como p(y)\,dy = q(x)\,dx, então integramos os dois lados e obtemos uma relação implícita entre x e y.

Passo 3

Aplicando a ideia de separar variáveis ao problema: começar por escrever a derivada explicitamente.
\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}.
Agora rearranjamos para agrupar y com dy e x com dx:
y\,dy = -x\,dx.

Passo 4

Integrar ambos os lados. Vou mostrar passo a passo como calcular as integrais:
\int y\,dy = \int -x\,dx.
Calcule cada integral separadamente:
  • \displaystyle \int y\,dy = \frac{y^{2}}{2} + C_{1}, porque a integral de y em relação a y é \frac{y^{2}}{2}.
  • \displaystyle \int -x\,dx = -\frac{x^{2}}{2} + C_{2}.
Colocando ambos os lados e agrupando constantes em uma constante única C:
\frac{y^{2}}{2} = -\frac{x^{2}}{2} + C.

Passo 5

Multiplicando por 2 para simplificar e renomeando a constante:
y^{2} = -x^{2} + C',
ou, equivalente,
y^{2} + x^{2} = C',
onde C' é uma constante arbitrária real. Essa é a solução geral implícita da EDO.
Interpretação geométrica rápida (didática e leve): a relação y^{2}+x^{2}=C' representa um círculo de raio \sqrt{C'} centrado em 0 no plano (x,y). A solução da EDO segue uma destas curvas.

Passo 6

Usar a condição inicial \displaystyle y(4)=3 para encontrar a constante C'. Substituindo x=4 e y=3 na relação y^{2}+x^{2}=C':
3^{2} + 4^{2} = C' \quad\Rightarrow\quad 9 + 16 = C' \quad\Rightarrow\quad C' = 25.
Portanto a solução implícita particular é
y^{2} + x^{2} = 25.

Passo 7

Passar para a forma explícita y(x): resolver para y.
y^{2} = 25 - x^{2}\quad\Rightarrow\quad y = \pm\sqrt{25 - x^{2}}.
Agora usamos a condição inicial para escolher o sinal: como y(4)=3>0, devemos escolher o ramo positivo. Logo a solução que satisfaz o PVI é
y(x) = \sqrt{25 - x^{2}}.

Passo 8

Discutir domínio e validade (muito importante para a prova): a expressão dentro da raiz exige 25 - x^{2} \ge 0, ou seja |x|\le 5. Porém, a equação diferencial original tem o termo -\dfrac{x}{y}, que não está definido quando y=0. Em x=\pm 5 temos y=0, então nesses pontos a equação diferencial não é válida (divisão por zero). Assim o intervalo máximo contínuo onde a solução é válida e a equação diferencial está bem definida, contendo o ponto inicial x=4, é
-5 < x < 5.
Breve verificação (útil na prova): derivando a solução encontrada,
y(x)=\sqrt{25-x^{2}}\quad\Rightarrow\quad y'(x)=\frac{-x}{\sqrt{25-x^{2}}} = -\frac{x}{y(x)},
o que confirma que a solução satisfaz a EDO.
Comentário encorajador: você fez certinho até aqui — se aparecer uma EDO com produto y\,dy e x\,dx, pensa logo em separar e integrar. 😉

Resposta

y(x)=\sqrt{25-x^{2}},\quad -5<x<5

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