Exercício 2.5. Resolva as EDO’s e os PVI’s:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e a condição inicial:
com
O que se pede: encontrar a solução geral da EDO e a solução particular que satisfaz o PVI (problema de valor inicial) dado por
.
Passo 2
Vamos organizar a EDO numa forma padrão de equação linear de primeira ordem. Uma EDO linear de primeira ordem tem a forma
onde
e
são funções conhecidas de
. A técnica que usamos é o fator integrante: escolhemos uma função
tal que, ao multiplicar a equação por
, o lado esquerdo se torne a derivada do produto
. O motivo é simplicidade: então podemos integrar dos dois lados e resolver para
. Explico passo a passo como achar
logo em seguida.
Passo 3
Reescrevendo a equação dada na forma padrão, dividimos por
(note que isso exige
, iremos comentar o domínio depois):
Aqui identificamos
O fator integrante
é dado por
Calculamos essa integral:
logo
Para trabalhar com a equação em um intervalo onde
tem sinal fixo podemos tomar
(o sinal absoluto só indica que o fator integrante difere por sinal em intervalos distintos, o que corresponde ao fato de que a solução é válida em cada intervalo sem atravessar
).
Passo 4
Multiplicamos a equação padrão por
. O lado esquerdo se torna a derivada de
. Explicitamente:
Reconhecemos que
Portanto podemos escrever
Agora integramos ambos os lados relativamente a
:
Calculemos a integral do lado direito. Usamos a primitiva de
:
onde
é a constante de integração. Assim
Passo 5
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a solução geral da EDO:
onde
é uma constante real. Observação sobre domínio: todas as etapas dividiram por
, portanto a solução é válida em qualquer intervalo que não contenha
. Para o PVI dado, queremos a solução em um intervalo que contenha
, por exemplo em
.
Passo 6
Agora aplicamos a condição inicial
para determinar
. Substituímos
em
:
Pelo PVI temos
. Assim
Portanto a solução particular que satisfaz o PVI é
Passo 7
Verificação rápida (substituição direta na EDO) para ganhar confiança: calculamos
. O lado esquerdo da EDO original é
. O lado direito é
. Igualam-se, então a solução está correta (e a condição inicial também é satisfeita).