Exercício 2.5. Resolva as EDO’s e os PVI’s:
\left\{\begin{array}{l}(x+1) y^{\prime}=y+6 \\\ y(0)=-1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e a condição inicial:
(x+1)\,y' = y + 6
com
y(0) = -1.
O que se pede: encontrar a solução geral da EDO e a solução particular que satisfaz o PVI (problema de valor inicial) dado por \,y(0)=-1.

Passo 2

Vamos organizar a EDO numa forma padrão de equação linear de primeira ordem. Uma EDO linear de primeira ordem tem a forma
y' + P(x)\,y = Q(x),
onde P(x) e Q(x) são funções conhecidas de x. A técnica que usamos é o fator integrante: escolhemos uma função \mu(x) tal que, ao multiplicar a equação por \mu(x), o lado esquerdo se torne a derivada do produto \mu(x)\,y. O motivo é simplicidade: então podemos integrar dos dois lados e resolver para y. Explico passo a passo como achar \mu(x) logo em seguida.

Passo 3

Reescrevendo a equação dada na forma padrão, dividimos por x+1 (note que isso exige x\neq -1, iremos comentar o domínio depois):
y' - \frac{1}{x+1}\,y = \frac{6}{x+1}.
Aqui identificamos
P(x) = -\frac{1}{x+1},\qquad Q(x)=\frac{6}{x+1}.
O fator integrante \mu(x) é dado por
\mu(x)=\exp\!\left(\int P(x)\,dx\right)=\exp\!\left(\int -\frac{1}{x+1}\,dx\right).
Calculamos essa integral:
\int -\frac{1}{x+1}\,dx = -\ln|x+1|,
logo
\mu(x)=\exp\!\big(-\ln|x+1|\big)=\frac{1}{|x+1|}.
Para trabalhar com a equação em um intervalo onde x+1 tem sinal fixo podemos tomar \mu(x)=\dfrac{1}{x+1} (o sinal absoluto só indica que o fator integrante difere por sinal em intervalos distintos, o que corresponde ao fato de que a solução é válida em cada intervalo sem atravessar x=-1).

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por \mu(x)=\dfrac{1}{x+1}. O lado esquerdo se torna a derivada de \dfrac{y}{x+1}. Explicitamente:
\frac{1}{x+1}\,y' - \frac{1}{(x+1)^2}\,y = \frac{6}{(x+1)^2}.
Reconhecemos que
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{y}{x+1}\right)=\frac{1}{x+1}\,y' - \frac{1}{(x+1)^2}\,y.
Portanto podemos escrever
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{y}{x+1}\right)=\frac{6}{(x+1)^2}.
Agora integramos ambos os lados relativamente a x:
\frac{y}{x+1}=\int \frac{6}{(x+1)^2}\,dx.
Calculemos a integral do lado direito. Usamos a primitiva de (x+1)^{-2}:
\int \frac{6}{(x+1)^2}\,dx = 6\int (x+1)^{-2}\,dx = 6\cdot\left(-\frac{1}{x+1}\right)+C = -\frac{6}{x+1}+C,
onde C é a constante de integração. Assim
\frac{y}{x+1} = -\frac{6}{x+1} + C.

Passo 5

Multiplicando ambos os lados por x+1 obtemos a solução geral da EDO:
y = C(x+1) - 6,
onde C é uma constante real. Observação sobre domínio: todas as etapas dividiram por x+1, portanto a solução é válida em qualquer intervalo que não contenha x=-1. Para o PVI dado, queremos a solução em um intervalo que contenha x=0, por exemplo em (-1,\infty).

Passo 6

Agora aplicamos a condição inicial \,y(0)=-1 para determinar C. Substituímos x=0 em y=C(x+1)-6:
y(0)=C(0+1)-6 = C-6.
Pelo PVI temos C-6=-1. Assim
C=5.
Portanto a solução particular que satisfaz o PVI é
y(x)=5(x+1)-6 = 5x-1.

Passo 7

Verificação rápida (substituição direta na EDO) para ganhar confiança: calculamos y'(x)=5. O lado esquerdo da EDO original é (x+1)y'=(x+1)\cdot 5=5x+5. O lado direito é y+6=(5x-1)+6=5x+5. Igualam-se, então a solução está correta (e a condição inicial também é satisfeita).

Resposta

y(x)=C(x+1)-6,\;C\in\mathbb{R}\n y(x)=5x-1

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