Exercício 2.5. Resolva as EDO’s e os PVI’s:
y=y^{\prime}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária abaixo e pede que a resolvamos (incluindo, se houver, o caso de problema de valor inicial — PVI):
y = y'.
Informações relevantes fornecidas:
\;y é a função desconhecida (função de x).
Não foi dado nenhum PVI com valores numéricos (ou seja, não foi especificado \,y(x_0)=y_0) — portanto devemos obter a solução geral e mostrar como aplicar um PVI genérico, caso apareça.

Passo 2

Vamos interpretar bem a equação antes de resolver: \;y'=\dfrac{dy}{dx} é a derivada de y em relação a x. A equação \;y=y' significa que a taxa de variação de y é igual ao próprio valor de y. Existem duas maneiras simples e elementares de resolver isso que são muito úteis na prova:
  1. Método de separação de variáveis (muito direto e básico).
  2. Reconhecer que é uma EDO linear homogênea com coeficiente constante — solução exponencial.
    Vou usar o método de separação de variáveis porque é o mais elementar e ensina passo a passo; depois comento a visão exponencial (é a mesma resposta).

Passo 3

Escrevendo a equação explicitamente como derivada:
\frac{dy}{dx} = y.
Agora separamos as variáveis colocando todos os termos com y de um lado e os termos com x do outro. Para isso, suponha momentaneamente que y\neq 0 (tratamos o caso y\equiv 0 separadamente depois). Dividindo ambos os lados por y e multiplicando por dx obtemos:
\frac{1}{y}\,dy = 1\,dx.
Explicação didática: separar variáveis significa reescrever a EDO numa forma onde um lado depende só de y e o outro só de x, para então integrar cada lado. Aqui \frac{1}{y}\,dy depende só de y e 1\,dx depende só de x.

Passo 4

Integramos os dois lados. A integral de \frac{1}{y}\,dy é \ln|y|; a integral de 1\,dx é x. Assim:
\int \frac{1}{y}\,dy = \int 1\,dx \quad\Longrightarrow\quad \ln|y| = x + C,
onde C é a constante de integração. Explicando: \ln|y| é o logaritmo natural do valor absoluto de y; usamos valor absoluto porque a integral de 1/y é válida para y>0 e para y<0, e o log absoluto unifica os dois casos.

Passo 5

Agora “desfazemos” o logaritmo exponenciando ambos os lados. Isso dá:
|y| = e^{x+C} = e^{C}e^{x}.
Chamando A=e^{C}>0 obtemos |y|=A e^{x}. Para eliminar o valor absoluto, permitimos que a constante multiplicativa seja qualquer número real C_1 (positivo, negativo ou zero). Assim a solução geral é
y(x) = C_1 e^{x},
onde C_1\in\mathbb{R} é constante arbitrária. Observação importante: o caso y\equiv 0 está incluído ao escolher C_1=0. Portanto não perdemos soluções ao ter dividido por y antes: o zero é recuperado pela constante C_1.

Passo 6

Verificação rápida (sempre faça na prova): calcule a derivada de y(x)=C_1 e^{x}:
y'(x) = C_1 e^{x} = y(x),
logo satisfaz a equação dada. Portanto a solução está correta.

Passo 7

Comentário sobre o PVI (problema de valor inicial): se for especificado um PVI do tipo \;y(x_0)=y_0 com algum ponto \;x_0 e valor \;y_0, então substituímos na solução geral para determinar a constante C_1:
y_0 = C_1 e^{x_0}\quad\Longrightarrow\quad C_1 = y_0 e^{-x_0}.
Assim a solução particular do PVI é
y(x) = y_0 e^{x-x_0}.
Exemplo prático: se o enunciado disser \;y(0)=2, então C_1=2 e y(x)=2e^{x}. Se disser \;y(0)=0, então y(x)\equiv 0.

Passo 8

Comentário pedagógico curto para fixar: a EDO \dfrac{dy}{dx}=ky (com k constante) tem solução y(x)=C e^{kx}. No nosso caso k=1, por isso apareceu e^{x}. Essa fórmula padrão é muito útil na prova — memorizando y'=y\Rightarrow y=C e^{x} você resolve rápido.

Resposta

\displaystyle y(x)=C e^{x},\;C\in\mathbb{R}.\n \displaystylePara o PVI \;y(x_0)=y_0: \displaystyle y(x)=y_0 e^{\,x-x_0}.

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