Exercício 2.5. Resolva as EDO’s e os PVI’s:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária abaixo e pede que a resolvamos (incluindo, se houver, o caso de problema de valor inicial — PVI):
Informações relevantes fornecidas:
é a função desconhecida (função de
).
Não foi dado nenhum PVI com valores numéricos (ou seja, não foi especificado ) — portanto devemos obter a solução geral e mostrar como aplicar um PVI genérico, caso apareça.
Não foi dado nenhum PVI com valores numéricos (ou seja, não foi especificado
Passo 2
Vamos interpretar bem a equação antes de resolver:
é a derivada de
em relação a
. A equação
significa que a taxa de variação de
é igual ao próprio valor de
. Existem duas maneiras simples e elementares de resolver isso que são muito úteis na prova:
- Método de separação de variáveis (muito direto e básico).
- Reconhecer que é uma EDO linear homogênea com coeficiente constante — solução exponencial.
Vou usar o método de separação de variáveis porque é o mais elementar e ensina passo a passo; depois comento a visão exponencial (é a mesma resposta).
Passo 3
Escrevendo a equação explicitamente como derivada:
Agora separamos as variáveis colocando todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro. Para isso, suponha momentaneamente que
(tratamos o caso
separadamente depois). Dividindo ambos os lados por
e multiplicando por
obtemos:
Explicação didática: separar variáveis significa reescrever a EDO numa forma onde um lado depende só de
e o outro só de
, para então integrar cada lado. Aqui
depende só de
e
depende só de
.
Passo 4
Integramos os dois lados. A integral de
é
; a integral de
é
. Assim:
onde
é a constante de integração. Explicando:
é o logaritmo natural do valor absoluto de
; usamos valor absoluto porque a integral de
é válida para
e para
, e o log absoluto unifica os dois casos.
Passo 5
Agora “desfazemos” o logaritmo exponenciando ambos os lados. Isso dá:
Chamando
obtemos
. Para eliminar o valor absoluto, permitimos que a constante multiplicativa seja qualquer número real
(positivo, negativo ou zero). Assim a solução geral é
onde
é constante arbitrária. Observação importante: o caso
está incluído ao escolher
. Portanto não perdemos soluções ao ter dividido por
antes: o zero é recuperado pela constante
.
Passo 6
Verificação rápida (sempre faça na prova): calcule a derivada de
:
logo satisfaz a equação dada. Portanto a solução está correta.
Passo 7
Comentário sobre o PVI (problema de valor inicial): se for especificado um PVI do tipo
com algum ponto
e valor
, então substituímos na solução geral para determinar a constante
:
Assim a solução particular do PVI é
Exemplo prático: se o enunciado disser
, então
e
. Se disser
, então
.
Passo 8
Comentário pedagógico curto para fixar: a EDO
(com
constante) tem solução
. No nosso caso
, por isso apareceu
. Essa fórmula padrão é muito útil na prova — memorizando
você resolve rápido.