Exercício 1 Resolva por eliminação de Gauss os seguintes sistemas de equações lineares:
l2 x+2 y+2 z+3 w=3 x+y+z+w=1 3 x+3 y+3 z+2 w=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver por eliminação de Gauss o sistema
Aqui o conteúdo é resolução de sistemas lineares usando operação elementar de linhas. Como temos 4 incógnitas e 3 equações, esperamos uma família de soluções com parâmetros livres.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada e, para ter pivô unitário na primeira linha, permutamos a linha 1 com a linha 2:
[cccc|c 1 & 1 & 1 & 1 & 1 2 & 2 & 2 & 3 & 3 3 & 3 & 3 & 2 & 2 ]

Passo 3

Eliminamos as entradas abaixo do pivô da coluna 1:
  • Nova linha 2: L2 - 2L1
  • Nova linha 3: L3 - 3L1
[cccc|c 1 & 1 & 1 & 1 & 1 0 & 0 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & 0 & -1 & -1 ]

Passo 4

Agora usamos a segunda linha para zerar a entrada da linha 3 na coluna 4:
  • Nova linha 3: L3 + L2
[cccc|c 1 & 1 & 1 & 1 & 1 0 & 0 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & 0 & 0 & 0 ]
Da segunda linha obtemos ,w=1. A terceira linha é redundante.

Passo 5

Substituindo w=1 na primeira linha, temos
x + y + z + 1 = 1 Longrightarrow x + y + z = 0
As variáveis x e y ficam livres; escolhemos parâmetros s e t:
x = s, y = t, z = -s - t, w = 1

Resposta

A solução geral é
(x,y,z,w) = (s,;t,;-s - t,;1),
com s,tinR.

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