Seja
uma transformação linear em um espaço vetorial de dimensão finita. Mostre que
se, e somente se,
.
Passo 1
O enunciado pede para provar a equivalência entre
-
-
Aqui o conteúdo é teoria de espaço vetorial de dimensão finita, usando o teorema da dimensão (rank–nullity) e propriedades básicas de núcleo e imagem de transformações lineares. Vamos mostrar cada implicação separadamente.
Passo 2
Suponha primeiro que
Queremos provar
.
(a) Se
então
e, claramente,
. Logo
.
(b) Agora seja
. Então
, ou seja,
.
Como , escrevemos
Como
Aplicando
em ambos os lados:
Mas
implica
para algum
, então
mostra só que
. Mais direto: como
e assumimos
, temos
. Pela soma direta,
, logo
e
. Assim
.
Concluímos .
Juntando (a) e (b) vem .
Concluímos
Juntando (a) e (b) vem
Passo 3
Agora suponha
e prove
.
- Pelo teorema da dimensão em
e em :
Como
, deduzimos
Mas sempre
, então
-
Mostramos
. Seja . Então para algum e . Logo , isto é, . Assim . -
Finalmente, como
a soma de subespaços tem dimensão total e intersecção trivial. Portanto
Resposta
Mostrou-se que cada condição implica a outra, logo