Seja A: E E uma transformação linear em um espaço vetorial de dimensão finita. Mostre que E=Kern(A) oplus Im(A) se, e somente se, Kern(A)=Kern(A^2).

Passo 1

O enunciado pede para provar a equivalência entre
  1. E=ker(A)oplusIm(A)
  2. ker(A)=kerl(A^2r)
    Aqui o conteúdo é teoria de espaço vetorial de dimensão finita, usando o teorema da dimensão (rank–nullity) e propriedades básicas de núcleo e imagem de transformações lineares. Vamos mostrar cada implicação separadamente.

Passo 2

Suponha primeiro que
E=ker(A)oplusIm(A)
Queremos provar ker(A)=ker(A^2).
(a) Se xinker(A) então A(x)=0 e, claramente, A^2(x)=Al(A(x)r)=0. Logo ker(A)subseteqker(A^2).
(b) Agora seja xinker(A^2). Então A^2(x)=0, ou seja, A(x)inker(A).
Como E=ker(A)oplusIm(A), escrevemos
x = u + v, uinker(A),;vinIm(A)
Aplicando A em ambos os lados:
0 = A^2(x) = Al(A(u+v)r) = Al(A(u)r) + Al(A(v)r) = A(0) + Al(A(v)r) = A^2(v)
Mas vinIm(A) implica v=A(w) para algum w, então A^2(v)=A^3(w)=0 mostra só que A(v)inker(A). Mais direto: como A(x)=A(u)+A(v)=0+A(v)=A(v) e assumimos A(x)inker(A), temos A(v)inker(A)capIm(A). Pela soma direta, ker(A)capIm(A)=0, logo A(v)=0 e vinker(A). Assim x=u+vinker(A).
Concluímos ker(A^2)subseteqker(A).
Juntando (a) e (b) vem ker(A)=ker(A^2).

Passo 3

Agora suponha ker(A)=kerl(A^2r) e prove E=ker(A)oplusIm(A).
  1. Pelo teorema da dimensão em A e em A^2:
dim E = dimker(A) + dimIm(A), dim E = dimker(A^2) + dimIm(A^2)
Como ker(A)=ker(A^2), deduzimos
dimIm(A) = dimIm(A^2)
Mas sempre Im(A^2)subseteq Im(A), então
Im(A^2)=Im(A)
  1. Mostramos ker(A)capIm(A)=0. Seja xinker(A)capIm(A). Então x=A(y) para algum y e A(x)=0. Logo A^2(y)=0, isto é, yinker(A^2)=ker(A). Assim x=A(y)=0.
  2. Finalmente, como
diml(ker(A)+Im(A)r) = dimker(A)+dimIm(A)-dim(ker(A)capIm(A)) = dim E,
a soma de subespaços tem dimensão total e intersecção trivial. Portanto
E=ker(A)oplusIm(A)

Resposta

Mostrou-se que cada condição implica a outra, logo
E=ker(A)oplusIm(A) Long<=ftrightarrow ker(A)=kerl(A^2r)

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