Exprima um vetor arbitrário como soma de um vetor do plano , cuja equação é , com um vetor da reta , gerada pelo vetor ( ). Conclua que . Determine a matriz, relativa à base canônica) da projeção , que tem imagem e núcleo .
Passo 1
O enunciado pede que a gente escreva um vetor arbitrário como soma de um vetor que pertence ao plano
e de um vetor que pertence à reta
Isso equivale a mostrar que . Em seguida, devemos construir a projeção linear
com e e achar sua matriz na base canônica.
Passo 2
Seja . Vamos escrever
onde
Para garantir , impomos a condição da equação do plano:
Passo 3
Como , a condição fica
Passo 4
Logo
Esse pertence a e a decomposição é única, o que mostra
Passo 5
A projeção sobre ao longo de manda
Em coordenadas:
Passo 6
Para achar a matriz de na base canônica, escrevemos cada coordenada de em função de . Isso dá:
Daqui, a matriz é
Resposta
A decomposição é
v = (x,y,z) = underbracel(x,y,zr) - tfracx+y-z2(1,2,1)in F1 + underbracetfracx+y-z2(1,2,1)in F2,
logo R^3 = F1 oplus F2, e a matriz da projeção P na base canônica é