Exprima um vetor arbitrário v=(x, y, z) in R^3 como soma de um vetor do plano F1, cuja equação é x+y-z=0, com um vetor da reta F2, gerada pelo vetor ( 1,2,1 ). Conclua que R^3=F1 oplus F2. Determine a matriz, relativa à base canônica) da projeção P: R^3 R^3, que tem imagem F1 e núcleo F2.

Passo 1

O enunciado pede que a gente escreva um vetor arbitrário (x,y,z)inR^3 como soma de um vetor u que pertence ao plano
F1:;x+y-z=0
e de um vetor w que pertence à reta
F2=span(1,2,1)
Isso equivale a mostrar que R^3=F1oplus F2. Em seguida, devemos construir a projeção linear
P:R^3toR^3
com Im,P=F1 e ker P=F2 e achar sua matriz na base canônica.

Passo 2

Seja v=(x,y,z). Vamos escrever
v = u + w,
onde
w = t,(1,2,1)in F2 e u=v-win F1
Para garantir uin F1, impomos a condição da equação do plano:
u1+u2-u3=0

Passo 3

Como u=v-w=(x-t,;y-2t,;z-t), a condição u1+u2-u3=0 fica
(x-t)+(y-2t)-(z-t)=0 ;Longrightarrow; x+y-z -2t=0 ;Longrightarrow; t = x+y-z2

Passo 4

Logo
w = x+y-z2,(1,2,1), u = v - w = l(x,y,zr) - x+y-z2,(1,2,1)
Esse u pertence a F1 e a decomposição é única, o que mostra
R^3 = F1oplus F2

Passo 5

A projeção P sobre F1 ao longo de F2 manda
P(v)=u = l(x,y,zr) - x+y-z2,(1,2,1)
Em coordenadas:
P(x,y,z) = l(x - tfracx+y-z2,;y - (x+y-z),;z - tfracx+y-z2r)

Passo 6

Para achar a matriz de P na base canônica, escrevemos cada coordenada de P(x,y,z) em função de x,y,z. Isso dá:
P(x,y,z) = l(tfrac12x - tfrac12y + tfrac12z,; -x + 0y + z,; -tfrac12x - tfrac12y + tfrac32zr)
Daqui, a matriz é
[P] = tfrac12 & -tfrac12 & tfrac12 -1 & 0 & 1 -tfrac12 & -tfrac12 & tfrac32

Resposta

A decomposição é
v = (x,y,z) = underbracel(x,y,zr) - tfracx+y-z2(1,2,1)in F1 + underbracetfracx+y-z2(1,2,1)in F2,
logo R^3 = F1 oplus F2, e a matriz da projeção P na base canônica é
tfrac12 & -tfrac12 & tfrac12 -1 & 0 & 1 -tfrac12 & -tfrac12 & tfrac32

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