Exercício 1 Resolva por eliminação de Gauss os seguintes sistemas de equações lineares:
lx+2 y+z=0 4 x+10 y+10 z=0 x+3 y+4 z=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
x+2y+z=0, 4x+10y+10z=0, x+3y+4z=0
usando eliminação de Gauss. Vamos montar a matriz aumentada e aplicar operações elementares para chegar à forma escalonada.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada do sistema:
l[;Amid b;r] = 1 & 2 & 1 &m|& 0 4 &10 &10 &m|& 0 1 & 3 & 4 &m|& 0
O objetivo é zerar as entradas abaixo do primeiro pivô a11=1.

Passo 3

Eliminamos embaixo de a11:
R2 R2 - 4,R1
R3 R3 - 1,R1
obtendo
1 & 2 & 1 &m|& 0 0 & 2 & 6 &m|& 0 0 & 1 & 3 &m|& 0

Passo 4

Trocamos agora R2 e R3 para facilitar o pivô na segunda coluna, depois zeramos abaixo:
R2rightarrow R3 Longrightarrow 1 & 2 & 1 &m|& 0 0 & 1 & 3 &m|& 0 0 & 2 & 6 &m|& 0 ,
e em seguida
R3 R3 - 2,R2 Longrightarrow 1 & 2 & 1 &m|& 0 0 & 1 & 3 &m|& 0 0 & 0 & 0 &m|& 0

Passo 5

A forma escalonada corresponde ao sistema
x + 2y + z = 0, ;y + 3z = 0,
com uma equação nula indicando variável livre. Escolhemos z = t como parâmetro.

Passo 6

Da segunda equação segue
y = -3z = -3t,
e da primeira
x = -2y - z = -2(-3t) - t = 6t - t = 5t
Logo a solução geral é
(x,y,z) = (5t,,-3t,,t) = t,(5,-3,1), tinR

Resposta

A solução do sistema é
(x,y,z) = t,(5,-3,1)mid tinR

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