Exercício 6. Calcule o MDC:
123123 e 871

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados temos:
  • Pede-se calcular o MDC (máximo divisor comum) entre os números \,123123 e \,871.
  • Números fornecidos: \,123123 e \,871.
    Nada mais é pedido.

Passo 2

Qual método vamos usar e por que (explicação didática curta e sem jargões):
  • Vou usar o algoritmo de Euclides (a forma mais direta e prática para calcular o MDC de dois inteiros).
  • Ideia-chave do algoritmo: ao dividir um inteiro a por outro b com a\ge b, obtemos
a = bq + r,\qquad 0\le r < b,
e vale a propriedade importante
\gcd(a,b)=\gcd(b,r).
Isto significa que podemos substituir o par (a,b) pelo par (b,r) e repetir o processo até o resto ser zero; o último resto não nulo é o MDC. Vou aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Primeira divisão: dividir \,123123 por \,871.
  • Fazer uma estimativa do quociente: \,871\times140=121940 e \,871\times141=121940+871=122811, \,871\times142=123682 (já é maior que \,123123). Logo o quociente inteiro é \,141.
  • Calcula-se o resto:
123123 = 871\cdot141 + 312.
Portanto o resto é \,312. Logo
\gcd(123123,871)=\gcd(871,312).

Passo 4

Segunda divisão: dividir \,871 por \,312.
  • \,312\times2=624 e \,312\times3=936>871. Então o quociente é \,2.
  • Resto:
871 = 312\cdot2 + 247.
Resto é \,247. Assim
\gcd(871,312)=\gcd(312,247).

Passo 5

Terceira divisão: dividir \,312 por \,247.
  • \,247\times1=247 e \,247\times2=494>312. Quociente é \,1.
  • Resto:
312 = 247\cdot1 + 65.
Resto é \,65. Então
\gcd(312,247)=\gcd(247,65).

Passo 6

Quarta divisão: dividir \,247 por \,65.
  • \,65\times3=195 e \,65\times4=260>247. Quociente é \,3.
  • Resto:
247 = 65\cdot3 + 52.
Resto é \,52. Logo
\gcd(247,65)=\gcd(65,52).

Passo 7

Quinta divisão: dividir \,65 por \,52.
  • \,52\times1=52 e \,52\times2=104>65. Quociente é \,1.
  • Resto:
65 = 52\cdot1 + 13.
Resto é \,13. Portanto
\gcd(65,52)=\gcd(52,13).

Passo 8

Sexta divisão: dividir \,52 por \,13.
  • \,13\times4=52, resto zero:
52 = 13\cdot4 + 0.
Quando o resto é \,0, o último resto não nulo (aqui \,13) é o MDC. Assim concluímos que o MDC é \,13.

Passo 9

Pequena justificativa de por que esse resultado é correto (intuição):
  • Em cada passo usamos a identidade \gcd(a,b)=\gcd(b,r) que se prova facilmente: qualquer divisor comum de a e b divide também r=a-bq, e vice-versa qualquer divisor comum de b e r divide a. Repetindo isso até obter resto zero garante que o último resto não nulo divide ambos os números e é o maior que o faz.

Resposta

\mathrm{MDC}(123123,871)=13

Exercícios relacionados