Exercício 6. Calcule o MDC:
123123 e 871
123123 e 871
Passo 1
O que o enunciado pede e quais dados temos:
- Pede-se calcular o MDC (máximo divisor comum) entre os números
e . - Números fornecidos:
e .
Nada mais é pedido.
Passo 2
Qual método vamos usar e por que (explicação didática curta e sem jargões):
- Vou usar o algoritmo de Euclides (a forma mais direta e prática para calcular o MDC de dois inteiros).
- Ideia-chave do algoritmo: ao dividir um inteiro
por outro com , obtemos
e vale a propriedade importante
Isto significa que podemos substituir o par
pelo par
e repetir o processo até o resto ser zero; o último resto não nulo é o MDC. Vou aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Primeira divisão: dividir
por
.
- Fazer uma estimativa do quociente:
e , (já é maior que ). Logo o quociente inteiro é . - Calcula-se o resto:
Portanto o resto é
. Logo
Passo 4
Segunda divisão: dividir
por
.
-
e . Então o quociente é . - Resto:
Resto é
. Assim
Passo 5
Terceira divisão: dividir
por
.
-
e . Quociente é . - Resto:
Resto é
. Então
Passo 6
Quarta divisão: dividir
por
.
-
e . Quociente é . - Resto:
Resto é
. Logo
Passo 7
Quinta divisão: dividir
por
.
-
e . Quociente é . - Resto:
Resto é
. Portanto
Passo 8
Sexta divisão: dividir
por
.
-
, resto zero:
Quando o resto é
, o último resto não nulo (aqui
) é o MDC. Assim concluímos que o MDC é
.
Passo 9
Pequena justificativa de por que esse resultado é correto (intuição):
- Em cada passo usamos a identidade
que se prova facilmente: qualquer divisor comum de e divide também , e vice-versa qualquer divisor comum de e divide . Repetindo isso até obter resto zero garante que o último resto não nulo divide ambos os números e é o maior que o faz.