Exercício (4.A.4)
Resolva a equação do calor unidimensional na semireta
Considere como condições de contorno os seguintes casos abaixo:
(Dica: Para cada caso, use extensão ímpar ou par de
em
).
Resolva a equação do calor unidimensional na semireta
(Dica: Para cada caso, use extensão ímpar ou par de
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação do calor que está num semireta (ou seja, pra $ x > 0 $) com a condição de contorno $ u(0, t) = 0 $. A matéria que a gente vai usar aqui é a equação do calor unidimensional e vamos precisar entender como estender a função inicial $ f(x) $ de uma maneira que facilite resolver a equação. Para isso, vamos usar a extensão ímpar da função $ f $ no eixo $ \mathbb{R} $. Isso vai ajudar a satisfazer a condição de contorno que a gente tem.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa extensão ímpar. Uma função é ímpar se $ f(-x) = -f(x) $ para todo $ x $. Isso é útil porque, ao estender $ f(x) $ de $ x > 0 $ para todo o eixo real $ \mathbb{R} $ de forma ímpar, garantimos que $ u(0, t) = 0 $, que é exatamente a condição de contorno que a gente tem.
Passo 3
Então, vamos definir uma nova função $ \tilde{f}(x) $ que é a extensão ímpar de $ f(x) $. Isso significa que para $ x > 0 $, $ \tilde{f}(x) = f(x) $ e para $ x < 0 $, $ \tilde{f}(x) = -f(-x) $. Essa extensão faz com que $ \tilde{f}(0) = 0 $, satisfazendo nossa condição de contorno.
Passo 4
Agora que temos a função estendida $ \tilde{f}(x) $, podemos resolver a equação do calor no domínio inteiro $ \mathbb{R} $ usando a solução fundamental. A solução geral da equação do calor em $ \mathbb{R} $ é dada por:
Essa fórmula é conhecida como solução de convolução com o núcleo de calor $ \frac{1}{\sqrt{4\pi t}} e^{-\frac{(x - \xi)^2}{4t}} $.
Passo 5
Como estamos interessados apenas para $ x > 0 $, usamos a solução acima com a função estendida $ \tilde{f}(x) $. Substituindo a definição de $ \tilde{f}(x) $, temos:
Fazendo uma mudança de variável na segunda integral ($ \xi’ = -\xi $), ficamos com:
Passo 6
Essa última expressão nos dá a solução da equação do calor na semireta $ x > 0 $ com a condição de contorno $ u(0, t) = 0 $. A diferença dos termos exponenciais garante que, quando $ x = 0 $, a função $ u(0, t) $ será zero, cumprindo a condição de contorno.
Resposta
A solução da equação do calor unidimensional na semireta $ x > 0 $ com condição de contorno $ u(0, t) = 0 $ é dada por: