Exercício (4.A.4)
Resolva a equação do calor unidimensional na semireta
cc partial upartial t(x, t)=partial^2 upartial x^2(x, t) & x>0, t>0 u(x, 0)=f(x) & x>0
Considere como condições de contorno os seguintes casos abaixo:
u(0, t)=0
(Dica: Para cada caso, use extensão ímpar ou par de f em R ).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação do calor que está num semireta (ou seja, pra $ x > 0 $) com a condição de contorno $ u(0, t) = 0 $. A matéria que a gente vai usar aqui é a equação do calor unidimensional e vamos precisar entender como estender a função inicial $ f(x) $ de uma maneira que facilite resolver a equação. Para isso, vamos usar a extensão ímpar da função $ f $ no eixo $ \mathbb{R} $. Isso vai ajudar a satisfazer a condição de contorno que a gente tem.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa extensão ímpar. Uma função é ímpar se $ f(-x) = -f(x) $ para todo $ x $. Isso é útil porque, ao estender $ f(x) $ de $ x > 0 $ para todo o eixo real $ \mathbb{R} $ de forma ímpar, garantimos que $ u(0, t) = 0 $, que é exatamente a condição de contorno que a gente tem.

Passo 3

Então, vamos definir uma nova função $ \tilde{f}(x) $ que é a extensão ímpar de $ f(x) $. Isso significa que para $ x > 0 $, $ \tilde{f}(x) = f(x) $ e para $ x < 0 $, $ \tilde{f}(x) = -f(-x) $. Essa extensão faz com que $ \tilde{f}(0) = 0 $, satisfazendo nossa condição de contorno.

Passo 4

Agora que temos a função estendida $ \tilde{f}(x) $, podemos resolver a equação do calor no domínio inteiro $ \mathbb{R} $ usando a solução fundamental. A solução geral da equação do calor em $ \mathbb{R} $ é dada por:
tildef(x)
Essa fórmula é conhecida como solução de convolução com o núcleo de calor $ \frac{1}{\sqrt{4\pi t}} e^{-\frac{(x - \xi)^2}{4t}} $.

Passo 5

Como estamos interessados apenas para $ x > 0 $, usamos a solução acima com a função estendida $ \tilde{f}(x) $. Substituindo a definição de $ \tilde{f}(x) $, temos:
x > 0
Fazendo uma mudança de variável na segunda integral ($ \xi’ = -\xi $), ficamos com:
tildef(x)

Passo 6

Essa última expressão nos dá a solução da equação do calor na semireta $ x > 0 $ com a condição de contorno $ u(0, t) = 0 $. A diferença dos termos exponenciais garante que, quando $ x = 0 $, a função $ u(0, t) $ será zero, cumprindo a condição de contorno.

Resposta

A solução da equação do calor unidimensional na semireta $ x > 0 $ com condição de contorno $ u(0, t) = 0 $ é dada por:
x > 0

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