Use manipulação algébrica para mostrar que os seguintes limites existem. Indique o valor do limite em cada caso.
As identidades
e
serão úteis para calcular alguns desses limites.
As identidades
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
usando manipulação algébrica, evitando regras como L’Hôpital. Vamos precisar usar soma de frações e fatoração para eliminar a indeterminação
.
Passo 2
Primeiro, somamos as frações do numerador escrevendo-as sobre o mesmo denominador. Temos:
Isso usa a ideia de somar frações: colocar denominador comum e somar os numeradores.
Passo 3
Substituindo de volta na expressão original, obtemos
Passo 4
Agora note que
e
são a mesma expressão (comutatividade). Então para
podemos cancelar esse fator:
Isso remove a indeterminação, deixando uma função contínua em
Passo 5
Por fim, como a função simplificada é
, avaliamos o limite enviando
: