Use manipulação algébrica para mostrar que os seguintes limites existem. Indique o valor do limite em cada caso.
lim x -5 1x+15x+5
As identidades
(x-a)(x+a)=x^2-a^2
e
(x+a)(x+b)=x^2+(a+b) x+a b
serão úteis para calcular alguns desses limites.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxto -5 tfrac1x+tfrac15x+5 usando manipulação algébrica, evitando regras como L’Hôpital. Vamos precisar usar soma de frações e fatoração para eliminar a indeterminação 0/0.

Passo 2

Primeiro, somamos as frações do numerador escrevendo-as sobre o mesmo denominador. Temos:
1x+15=5+x5x
Isso usa a ideia de somar frações: colocar denominador comum e somar os numeradores.

Passo 3

Substituindo de volta na expressão original, obtemos
tfrac1x+tfrac15x+5=tfrac5+x5xx+5 = 5+x5x,(x+5)

Passo 4

Agora note que 5+x e x+5 são a mesma expressão (comutatividade). Então para xneq -5 podemos cancelar esse fator:
5+x5x,(x+5)=15x
Isso remove a indeterminação, deixando uma função contínua em x=-5 exceto no ponto isolado.

Passo 5

Por fim, como a função simplificada é tfrac15x, avaliamos o limite enviando xto -5:
limxto -515x=15(-5)=-125

Resposta

-tfrac125

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