Resolva os limites utilizando coordenadas polares:
(a) lim (x, y) (0,0) x^3+y^3x^2+y^2
(c) lim (x, y) (0,0) e^-x^2-y^2-1x^2+y^2
(b) lim (x, y) (0,0) sin (x^2+y^2)x^2+y^2
(d) lim (x, y) (0,0)(x^2+y^2) ln (x^2+y^2)

Passo 1

O enunciado pede calcular quatro limites em R^2 na vizinhança de (0,0). O conteúdo central é o uso de coordenadas polares para reescrever as expressões em função de r e theta, e depois estudar o comportamento quando rto0^+.

Passo 2

Em coordenadas polares temos:
x = rcos(theta), y = rsin(theta), r = raizx^2 + y^2,
e o limite (x,y)to(0,0) equivale a rto0^+, com theta livre.

Passo 3

Para (a) reescrevemos
x^3 + y^3x^2 + y^2 = r^3l(cos^3(theta) + sin^3(theta)r)r^2 = rl(cos^3(theta) + sin^3(theta)r)
Como cos^3(theta)+sin^3(theta) é limitado e rto0, o produto tende a 0.

Passo 4

Para (b) temos
sinl(x^2 + y^2r)x^2 + y^2 = sinl(r^2r)r^2
Seja t = r^2. Então sin(t)/tto1 quando tto0, logo o limite vale 1.

Passo 5

Para (c) obtemos
e^-x^2 - y^2 - 1x^2 + y^2 = e^-r^2 - 1r^2
Usando a expansão e^-r^2 = 1 - r^2 + o(r^2), vemos que o quociente tende a -1.

Passo 6

Para (d) a expressão é
(x^2 + y^2)ln(x^2 + y^2) = r^2 lnl(r^2r) = 2r^2ln(r)
Como r^2ln(r)to0 quando rto0^+, o limite é 0.

Resposta

(a) 0
(b) 1
(c) -1
(d) 0

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