Exercício 0.8 Resolva as equações abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação
Informações dadas:
- A incógnita é
. - Há um logaritmo aninhado: primeiro
, depois . - Não foi especificada a base do logaritmo; vou assumir a base
(logaritmo decimal), que é a convenção mais comum quando não se indica outra base.
Passo 2
Antes de manipular a equação é obrigatório cuidar do domínio: os argumentos de logaritmos devem ser estritamente positivos. Aqui há dois níveis de restrição:
- Do log externo:
precisa ser positivo, ou seja,
- Do log interno: implicitamente
precisa existir, logo seu argumento deve satisfazer .
A partir de
obtemos
Na base
isso é equivalente a
ou seja
Portanto qualquer solução deve obedecer
. Vou verificar no final que a solução encontrada satisfaz isso.
Passo 3
Lembrete útil sobre logaritmos (explicação didática):
- A definição inversa: se
(base ), então por definição . - Isso vem do fato de que logaritmo é o inverso da exponenciação:
e para .
Usaremos essa propriedade duas vezes: primeiro para eliminar o
exterior e depois para eliminar o
interior.
Passo 4
Aplicando a inversa do log na equação dada. Como
exponenciando na base
obtemos
Passo 5
Isolando
:
Agora aplicamos novamente a inversa do log (exponenciação na base
) para encontrar
:
Passo 6
Simplificação final do expoente:
, então
Portanto
Também se pode escrever como
, mas a forma
é mais direta.
Passo 7
Verificação do domínio e checagem rápida:
- A solução encontrada satisfaz
(claramente muito maior que ), então o domínio está OK. - Substituindo de volta:
. Então e . Tudo consistente.