Exercício 0.8 Resolva as equações abaixo.
\log (\log x-1)=6

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
\log(\log x - 1) = 6.
Informações dadas:
  • A incógnita é x.
  • Há um logaritmo aninhado: primeiro \log x, depois \log(\,\cdot\, -1).
  • Não foi especificada a base do logaritmo; vou assumir a base 10 (logaritmo decimal), que é a convenção mais comum quando não se indica outra base.

Passo 2

Antes de manipular a equação é obrigatório cuidar do domínio: os argumentos de logaritmos devem ser estritamente positivos. Aqui há dois níveis de restrição:
  • Do log externo: \log x - 1 precisa ser positivo, ou seja,
\log x - 1 > 0.
  • Do log interno: implicitamente \log x precisa existir, logo seu argumento x deve satisfazer x>0.
A partir de \log x - 1 > 0 obtemos
\log x > 1.
Na base 10 isso é equivalente a
x > 10^1,
ou seja
x > 10.
Portanto qualquer solução deve obedecer x>10. Vou verificar no final que a solução encontrada satisfaz isso.

Passo 3

Lembrete útil sobre logaritmos (explicação didática):
  • A definição inversa: se \log a = b (base 10), então por definição a = 10^{b}.
  • Isso vem do fato de que logaritmo é o inverso da exponenciação: \log_{10}(10^b)=b e 10^{\log_{10} a}=a para a>0.
Usaremos essa propriedade duas vezes: primeiro para eliminar o \log exterior e depois para eliminar o \log interior.

Passo 4

Aplicando a inversa do log na equação dada. Como
\log(\log x - 1) = 6,
exponenciando na base 10 obtemos
\log x - 1 = 10^{6}.

Passo 5

Isolando \log x:
\log x = 10^{6} + 1.
Agora aplicamos novamente a inversa do log (exponenciação na base 10) para encontrar x:
x = 10^{\,10^{6} + 1}.

Passo 6

Simplificação final do expoente: 10^{6}=1{,}000{,}000, então
10^{6}+1 = 1{,}000{,}001.
Portanto
x = 10^{1{,}000{,}001}.
Também se pode escrever como x=10\cdot 10^{10^{6}}, mas a forma 10^{1{,}000{,}001} é mais direta.

Passo 7

Verificação do domínio e checagem rápida:
  • A solução encontrada satisfaz x>10 (claramente muito maior que 10), então o domínio está OK.
  • Substituindo de volta: \log x = 10^{6}+1. Então \log x -1 = 10^{6} e \log(\log x -1)=\log(10^{6})=6. Tudo consistente.

Resposta

x = 10^{1{,}000{,}001}

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